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2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅰ卷
理科数学答案解析
一、选择题
1.【答案】D
【解析】由题意首先求得的值,然后计算其模即可.
由题意可得:,则.故.
故选:D.
【考点】复数的运算法则,复数的模的求解
2.【答案】B
【解析】由题意首先求得集合,,然后结合交集的结果得到关于的方程,求解方程即可确定实数的
值.
求解二次不等式可得:,求解一次不等式可得:.
由于,故:,解得:.
故选:B.
【考点】交集的运算,不等式的解法
3.【答案】C
【解析】设,,利用得到关于,的方程,解方程即可得到答案.
如图,设,,则,由题意,即,化简得,解得(负值舍去).
故选:C.
【考点】正四棱锥的概念及其有关计算
4.【答案】C
【解析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
设抛物线的焦点为,由抛物线的定义知,即,解得.
故选:C.
【考点】利用抛物线的定义计算焦半径
5.【答案】D
【解析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.
由散点图分布可知,散点图分布在一个对数函数的图象附近,因此,最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是.
故选:D.
【考点】函数模型的选择,散点图的分布
6.【答案】B
【解析】求得函数的导数,计算出和的值,可得出所求切线的点斜式方程,化简
即可.
,,,,因此,所求切线的方程为,即.
故选:B.
【考点】利用导数求解函图象的切线方程
7.【答案】C
【解析】由图可得:函数图象过点,即可得到,结合是函数
图象与轴负半轴的第一个交点即可得到,即可求得,再利用三角函数周期公式即
可得解.
由图可得:函数图象过点,将它代入函数可得:.
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点,所以,解得:.所以函数的最小正周期为.
故选:C.
【考点】三角函数的性质及转化,三角函数周期公式
8.【答案】C
【解析】求得展开式的通项公式为(且),即可求得与
展开式的乘积为或形式,对分别赋值为3,1即可求得的系数,问题得解.
展开式的通项公式为(且).所以与展开式的乘积可表示为:
或在中,令,可得:
,该项中的系数为10,在中,令,可得:,该项
中的系数为5.所以的系数为.
故选:C
【考点】二项式定理及其展开式的通项公式,赋值法
9.【答案】A
【解析】用二倍角的余弦公式,将已知方程转化为关于的一元二次方程,求解得出,再用同角间的三角函数关系,即可得出结论.
,得,即,解得或(舍去),又,.
故选:A.
【考点】三角恒等变换,同角间的三角函数关系求值
10.【答案】A
【解析】由已知可得等边的外接圆半径,进而求出其边长,得出的值,根据球截面性质,求出
球的半径,即可得出结论.
设圆半径为,球的半径为,依题意,得,,由正弦定理可得,,根据圆截面性质,,,球的表面积.故选:A.
【考点】球的表面积,应用球的截面性质
11.【答案】D
【解析】由题意可判断直线与圆相离,根据圆的知识可知,四点,,,共圆,且,根据
可知,当直线时,最小,求出以为直径的圆的方程,根
据圆系的知识即可求出直线的方程.
圆的方程可化为,点到直线的距离为,所以直线与圆相离.依圆的知识可知,四点,,,四点共圆,且,
所以,而,当直线时,,
,此时最小.即,由解得,.
所以以为直径的圆的方程为,即,两圆的方程相减可得:
,即为直线的方程.
故选:D.
【考点】直线与圆,圆与圆的位置关系的应用,圆的几何性质的应用
12.【答案】B
【解析】设,利用作差法结合的单调性即可得到答案.
设,则为增函数,因为,
所以,
所以,所以.
,
当时,,此时,有.
当时,,此时,有,所以C、D错误.
故选:B.
【考点】函数与方程的综合应用,构造函数,利用函数的单调性比较大小
二、填空题
13.【答案】1
【解析】首先画出可行域,然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.
绘制不等式组表示的平面区域,如图所示,
目标函数即:,其中取得最大值时,其几何意义表示直线系在轴上的截距最大,
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值,联立直线方程:,可得点
的坐标为:,据此可知目标函数的最大值为:.故答案为:1.
14.【答案】
【解析】整理已知可得:,再利用,为单位向量即可求得,对变形可得:,问题得解.
因为,为单位向量,所以,
所以.解得:.
所以.
故答案为:.
【考点】向量模的计算公式及转化
15.【答案】2
【解析】根据双曲线的几何性质可知,,,即可根据斜率列出等式求解即可.
依题可得,,而,,即,变形得,化简可得, ,解得或(舍去).故答案为:2.
【考点】双曲线的离心率的求法,双曲线的几何性质的应用
16.【答案】
【解析】在中,利用余弦定理可求得,可得出,利用勾股定理计算出、,可得出,
然后在中利用余弦
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