162线段的垂直平分线.ppt

§ 16.2 线段的垂直平分线 杨新中学 刘锐 实际问题 1 临泉县政府为了方便居民的生活，计划在 三个住宅小区 A 、 B 、 C 之间修建一个购物 中心，试问，该购物中心应建于何处，才 能 使 得 它 到 三 个 小 区 的 距 离 相 等 。 A B C A 实际问题 2 在阜临路 L （阜阳 — 临泉） 的同 侧，有两个工厂 A 、 B ，为了便于两 厂的工人看病，市政府计划在公路 边上修建一所医院，使得两个工厂 的工人都没意见，问医院的院址应 选在何处？ B L L 阜 临 路 线段的垂直平分线的 作法 ? 用尺规作线段的垂直平分线 . C ? 已知 : 线段 AB, 如图 . ? 求作 : 线段 AB 的垂直平分线 . ? 作法 : 回顾 思考 A ? 1. 分别以点 A 和 B 为圆心 , 以大于 AB/2 长为半径作 B 弧 , 两弧交于点 C 和 D. ? 2. 作直线 CD. ? 则直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线 . D 请你说明 CD 为什么是 AB 的垂直平分线 , 并与同伴进行交 流 . 老师提示 : 因为直线 CD 与线段 AB 的交点就是 AB 的中点 , 所以我们也用 这种方法作线段的 中点 . 驶向胜利 的彼岸 线段的垂直平分线 命题：线段垂直平分线上的 点 和这条线段两个端 点 的距离相等。 M 已知：如图， 直线 MN ⊥ AB, 垂足为 C, 且 AC=CB. 点 P 在 MN 上 . P 求证： PA=PB 证明：∵ MN ⊥ AB （已知） ∴ ∠ PCA= ∠ PCB=90o （垂直定义） 在 ΔPAC 和 Δ PBC 中， AC=BC （已知） ∠ PCA= ∠ PCB （已证） A PC=PC （公共边） ∴ ΔPAC ≌ Δ PBC （ SAS ） ∴ PA=PB （全等三角形对应边相等） C B N 线段的垂直平分线 性质定理： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点距 离相等。 M 线段垂直平分线上的点和这 条线段两个端点的距离相等 点 P 在线段 AB 的垂直 平分线上 P PA=PB 老师提示 : 这个结论是经 常用来证明两条线段相等的 根据之一 . A C B N 性质定理： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端 点的 距离相等。 逆命题： 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段 的垂直平分线上。 P 点 P 在线段 AB 的垂直 平分线上 ? PA=PB A C B 线段的垂直平分线 一、性质定理： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端 点的距离相等。 二、逆定理：与 一条线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。 点 P 在线段 AB 的垂直 平分线上 线段垂直平分线上的点和这 条线段两个端点的距离相等 PA=PB 和一条线段两个端点距离相等的 点，在这条线段的垂直平分线上 三、 线段的垂直平分线的集合定义： 线段的垂直平分线可以看作是和线 段两个端点距离相等的所有点的集合 线段的垂直平分线 例 1 已知 : 如图 , 在 ΔABC 中 , 边 AB ， AC 的垂直平分线交于 P. 求证：点 P 在 BC 的垂直平分线上 . 分析： 点 P 在线段 AB 的 点 P 在线段 AC 的 垂直平分线上 垂直平分线上 PA=PB PA=PC PB=PC A M M P B C N N 例 1 已知 : 如图 , 在 ΔABC 中 , 边 AB ， AC 的垂直平分 线交于 P. 求证：点 P 在 BC 的垂直平分线上 . A 证明： 连接 PA 、 PB 、 PC. ∵ P 在 AB 、 AC 的中垂线上（已知） ∴ PA=PB,PA=PC.( 线段垂直平分线上 的点与线段两端距离相等 ) ∴ PB=PC.( 等量代换 ) ∴点 P 在 BC 的垂直平分线上 . （与线段 两端距离相等的点在线段的垂直平分线上） P B ∟ C 你能依据例 1 得到什么结论 ？ 结论： 三角形三边垂直平分线交于一点， 这一点到三角形三个顶点的距离相等。 独立作业 1 A 临泉县政府为了方便居民的生活，计划在 三个住宅小区 A 、 B 、 C 之间修建一个购物 中心，试问，该购物中心应建于何处，才 能 使 得 它 到 三 个 小 区 的 距 离 相 等 。 B C 线段的垂直平分线 实际问题 1 、求作一点 P ，使 它和△ ABC 的三个 顶点距离相等 . 数学化 A B p PA=PB=PC 实 际 问 题 1 C A 独立作业 2 在阜临路 L （阜阳 — 临泉） 的同侧， 有两个工厂 A 、 B ，为了便于两厂的 工人看病，市