函数项级数的一致收敛性.docx

第 第 PAGE # 页 第三节 函数项级数的一致收敛性 本节将讨论函数项级数有关性质。 定义 1 设 u1(x)，u2(x) ，??， un(x)，??，是集合 E上的函数列 ， 我们称形为 u1(x)+u2(x)+??+un(x)+?? 为 E上的函数项级数， 简记为 un(x) 。其中 un(x)称为第 n 项. n1 uk(x)+uk 1(x)+??+un(x)+??也记 为 un(x). 记号中 n 可以用其它字母 nk 代之. 同研究常数项级数一样，我们类似可以定义其收敛性。 定义 2 设 un (x)是集合 E上的函数项级数，记 n1 n Sn(x) ui(x)=u1(x)+u2(x)+??+un(x)， i1 它称为级数 un(x) 的部分和函数 (严格地说是前 n 项部分和函数) . n1 Sn(x) 称为 un(x)的部分和函数列。 n1 如果 Sn(x) 在x0点收敛，我们也说 un(x)在 x0点收敛或称 x0为该级数 n1 的收敛点。 如果 |un(x)|在x0点收敛，我们称 un(x)在 x0点绝对收敛。非常容易证 n1 n 1 明绝对收敛一定收敛。 Sn(x) 的收敛域也称为该级数的 收敛域 。如果 Sn(x) 在 x0点不收敛，我们说 un (x)在 x 0点发散。 n1 如果 Sn(x) 在D上点态收敛于 S(x) ，我们称 un(x)在 D上点态收敛于 n1 S(x). S(x)称为该级数的的 和函数 。Rn(x) S(x) Sn (x)称为该级数关于前 n 项部分和的余项 . Rn(x) 称为该级数的余项函数列 . 如果 Sn(x) 在 D上一致收敛于 S(x) ，我们称 un(x)在 D上一致收敛于 n1 S(x)，或 un(x)在 D上一致收敛 . 如果 Sn(x) 在D上内闭一致收敛于 S(x)， n1 我们称 un (x)在 D上内闭一致收敛 . n1 用 N 的进行叙述将是： 设 un(x) 设 un(x)是 D上函数项级数 n1 S(x) 是 D上函数。 若对任意 0，总存 在一个正数正数 N(只能依赖于 ，绝对不依赖于 x)，当n N 时，对一切 的 x D ，总有 S(x)| ， S(x)| ， | ui (x) i1 则称该函数项级数在 D上一致收敛 于S(x) . 同样一致收敛一定点态收敛 例 1 定义在(—∞， +∞)上的函数项级数(几何级数) xn 1 1 x n1 2n xx 的部分和函数是 Sn (x) 1 x . 显然当| x|1 时 1x lim Sn (x) n 1 x | x| 1 时，几何级数是发散的。其收敛域是(— 1，1 ). 显然几何级数在 (— 1，1)上不是一致收敛的 . 函数列的有关结论，都可以不加证明地推广到函数项级数 . 定理 11. 8 (函数 项级数 一致收敛 Cauchy 准则)函数 项级数 un(x)在 n1 集合 D上一致收敛的充分必要条件是： 对任意ε 0, 总存在正数 N，使得 当正整数 m，n，有 mnN时，对一切的 x∈ D,都有 推论 un ( x)在D上一致收敛的 必要条件 是 un(x) 在 D上一致收敛于 0。 n1 反之未必(请读者举例) . 定理 11. 9 un(x)在 D上一致收敛的充分必要条件是其 余项函数列 n1 Rn(x) 一致收敛于 0. 定理 11. 10 ( Weierstrass 判别法)设 an 是收敛的正项级数， un(x) n 1 n 1 是 D 上的函数 项级数。如果 |un (x)| an,x D,n 1,2,3, ，则 un(x) 在 D n1 上一致收敛。 证明 因正项级数 an 收敛，所以，任意 n1 0，存在正数 N, 当 m,n N (mn) 时, |an 1 an 1 am | . 那 么 对 任 意 x D, |un 1(x) un 1(x) um(x) | a n 1 an 1 am ， 由 Cauchy 准则，得证。 例n1sin(nx ) 在(—∞，1+∞)上 一致收敛。定理 11.11Abel 例 n1 sin(nx ) 在(—∞， 1 +∞)上 一致收敛。 定理 11. 11 Abel 判别法) 设函数项级数 bn(x) 在 D上一致 收敛，函数 n1 列 an (x) D 上 一致有界， 即存在常数 M, 使得 |an(x)| M ， x D ， n 1,2,3, ，如果 an(x) 关于 n 是单调的，那么 an(x)bn (x)在 D上一 n1 证明致收敛。 证明 bn(x)一致 收敛，所以 任意 0，存在正数 N, 当 m,n N 1 (mn) 时 , 对所有 x D,|b 对所有 x D, |bn 1(x) bn 1(x) bm(x)|