特征函数在极限理论中的应用.pdfVIP

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2021-02-16 发布于湖北
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特征函数在极限理论中的应用.pdf

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1. 集合列的特征函数 1.1 集合 E 的特征函数定义：对于 X 中的子集 E ，作 1, x E X E = 0, x E 称 X E ： X 0,1 是定义在 X 上的集合 E 的特征函数。由定义知，特征函数 X E 在一定意义上作为集合 E 的代表。借助特征函数，集列的极限运算可转换特征函数的相应运算。 1.2 定理：对任意的集合列 An ，有 lim X A = X lim An ， n n n lim X An = X lim An ， n n 集列 An 收敛的充要条件是它的特征函数列 X A 收敛，且 n lim X A = X lim An n n n 定理说明了集列 An 取（上、下）极限的运算与求特征函数的运算是可交换运算的次序。集列 An 收敛性与数列 X A 收敛性等价。 n 证明：由特征函数的定义， lim X A =1 或 0， n n x ，设 lim X A n =1 有无限个 nk ，使得 X Ank =1， n 有无限个 nk ，使得 x Ank ， x lim A n ， n X lim A =1 （*1 ） n n x ，设 lim X An =0 有无限个 nk ，使得 X Ank =0