高等代数 (11)古今数学思想.pdf

第一章 矩阵及其初等变换 1.1 矩阵及其运算 1.1.8 对称与反对称矩阵 . 八 对称与反对称矩阵 对称矩阵: AT A 即aij a ji , i, j 2 沿着对角线, 对称位置上的元相等: a a 1 方阵     ij ji 0 aij a ji 0 aij a ji a a  ji ji 0 对称矩阵AT A 反对称矩阵AT A 反对称 反称 矩阵 AT A ( ) : 即aii 0, aij a ji , i  j 1 方阵 2 沿着对角线, 对称位置上的元相反: a a     ij ji 例1. , ? 下列矩阵是否为对称矩阵 反称矩阵  2 1 1  0 3 1  2 2 3        A  1 0 0 , B 3 0 2 , C  2 0 1. 1 0 5   1 2 0  3 1 0  A 对称 B 反称 C: 不对称 也非反称 例2. 既是对称又是反称的矩阵是怎样的矩阵? 解: 设A 同时是对称与反称矩阵, 则 A 对称 AT A   A A A O . A 反称AT A  显然零方阵同时对称与反称. 所以题设所求恰为零方阵. 例 数乘 3. 对称矩阵是否仍为对称矩阵？ 和 同阶对称矩阵之 是否仍为对称矩阵？ 乘积 同阶对称矩阵的 是否仍为对称矩阵？ 解 设 对称 则 : A , B , AT A  kA T kAT