高等代数 (38)古今数学思想.pdf

第二章 行列式 2.5 矩阵的秩 2.5.1 矩阵秩的概念和性质 一. 矩阵秩的概念和性质 A 非零子式 最高阶数 r, A 秩, R(A) = r. 矩阵 中 的 称为 的 记 规定零矩阵的秩为0. 对任意矩阵 其秩总是存在且惟一的 说明: (1) A , . A 6 R A 6 6 8 A , 最多有 阶子式   给定某 行 列矩阵 若A 的C 6 个6 阶子式中有一个非0 R A 6. 8   5 5 若 的 阶子式都为 考察A 的C C 个5 阶子式, A 6 0, 8 6 若某5 阶子式非0 R A 5.   , A . 如此继续 总可以求得矩阵 唯一的秩 说明: (2) , 仅由定义来确定矩阵的秩 其计算量巨大 为证明某矩阵A 的秩 R A10090  50 : 1. 需要从A 的C 50 C 50 个50 阶子式中找出一个非零者; 100 90 2. 需证明所有51 , 52, , 90 阶子式均为0. 3 A 的k 阶子式全为0 k 1 阶子式全为0.   子式中第 行元与相应代数余子式 乘积之和 A 的k 1 阶子式= 1 每个 都是 的带符号的 阶子式 为 代数余子式 A k , 0! A r D , r + 1 ( ) 0, 若 有某 阶子式 非零 且所有 阶子式若存在 为 D A 最高阶非零子式, r A 秩. 则 称为 的 数 称为 的 1 2 4 1 2 4 8    例1. 求矩阵的秩: 1 A ; 2 B 2 4 8 2 .   1 2 0   3 6 2 0  显然 的秩为 解: A 2. R B 3 对B 的任一3