概率论与数理统计 (9).pdf

第五章第五章 大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理 知识点知识点 第五章大数定律及中心极限定理 §1.大数定律 定理 （辛钦大数定律） 设设X 1 , L, X n , L相互独立同分布相互独立同分布，且具有数且具有数 学期望EX l μ ，i 1, 2,L,n ,L ， i l 1 n l P A l ∑ X i ⎯⎯→ μ , l 1,2 , L, k . l nn i 11 第五章大数定律及中心极限定理 §§22.中心极限定理中心极限定理 设X 1 , L, X n , L是独立的随机变量序列， n n n EXEX ，DXDX ZZ (( XX − EXEX )) // DXDX k k 存在存在，令令： n ∑∑ k ∑∑ k ∑∑ k ， k 1 k 1 k 1 2 x t 1 − x ∈R lim P {Z n ≤ x } ∫e 2 dt 若对任意 1 ，有n −∞ 2π −∞ 。 则称 {X n } 服从中心极限定理。 E ( Z ) 0 , D ( Z ) 1 . 说明： n n 若 {X n } 服从中心极限定理，则 当 n 很大时， n n n Z nn (( ∑∑ X kk − ∑∑ EX kk )) / ∑∑ DX kk k 1 k 1 k 1 近似服从标准正态分布。 第五章大数定律及中心极限定理 (De Moivre--Laplace) 定理 （棣莫佛-拉普拉斯定理） η ( n 1,2 , L) 设随机变量 n 服从参数为n,p(0p1) 的二项分布 ，即 η ~ B ( n , p ). n x 则对于任意 ，恒有： 2 x t η n − np