概率论与数理统计 (7)古今数学思想.pdf

第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 知识点知识点 第四章 随机变量的数字特征 1、、数学期望数学期望 ∞ ∞ E ( X ) ∑ x k p k E ( X ) ∫ xf ( x ) dx i 1 −∞∞ 性质 E (a X + b Y )= a E X + b E Y 若X,Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y) 2、随机变量函数的数学期望 设设Y=g((X)), g((x)) 是连续函数是连续函数， ∞ ∞ E ( Y ) ∑ g ( x k ) p k E ( Y ) ∫∫g ( x ) f ( x ) dx kk 11 −∞ 第四章 随机变量的数字特征 gg (( xx ,, yy )) 若若(X(X,Y)Y) 是二维随机变量是二维随机变量，， 是二元连续函数是二元连续函数，， Z g ( X , Y ) (1)若(X,Y) 的分布律为P {X x i , Y y j } p ij ， ∞ 则则 EE (( ZZ )) ∑∑ gg (( xx i , yy j )) pp ij i , j 1 (2). 若(X,Y)的概率密度为 f ( x , y ), ∞ ∞ 则 E ( Z ) ∫ ∫g ( x , y ) f ( x , y ) dxdy −∞ −∞ 第四章 随机变量的数字特征 若二维连续型随机变量若二维连续型随机变量 （（XX ，YY ））的联合密度的联合密度 为 f (x , y ) , 则 +∞ +∞ ⎧⎧+∞ ⎫⎫ E [X ] xf (x )dx x f (x , y )dy dx ∫ X ∫ ∫⎨ ⎬ −∞ −∞ ⎩−∞ ⎭ +∞ +∞ ∫ ∫xf (x , y )dxdy −∞ −∞ +∞ +∞ E [[Y ]] ∫∫ ∫∫yfyf ((x ,, yy ))dxdyy −∞ −∞ 第四章 随机变量的数字特征 3、、方差 DXDX EE (( XX − EXEX )) 2