高等代数 (2)古今数学思想.pdf

第零章 预备知识 0.1 数域 0.1.2 数系的发展 . 二 数系的发展 数系的发展: 自然数集合 :  1, 2, 3,   对加法 乘法运算封闭 对减法运算不封闭 , , 整数集合:  0, 1, 2, 3,   , , , 对加法 减法 乘法运算封闭 对除法运算不封闭 a  有理数集合:   a, b , 且b 0 b  ( 0) 对加减乘除 除数不为 运算封闭！ 毕达哥拉斯: 万物皆数 认为不同的长度总是可公度的: 可以写成两个整数的商 有理数之外, 没有其它的数了! 毕达哥拉斯 希帕索斯 希帕索斯: 2 不是有理数! 被扔到海里喂鱼了! 实数集合ℝ: 参见数学分析 对方程求根不封闭! 复数集合ℂ:  a bi a, b  对多项式方程求根封闭 代数基本定理   : 多项式 矩阵 行列式 方程组 向量 线性空间 线性变换等 高等代数的研究对象: , , , , , , . 定理1. 2 不是有理数! 有理数: 可以写成m/n, 其中整数m, n 互素. A 2 : 正数并且, A 2 2 证明: 反证. 设 2是有理数, 那么 2可以写成 m 2 , 正整数m, n互素  n  2 2  m 2n 是偶数 m是偶数2k 矛盾!   2k 2 2n2 n2 2k 2 n是偶数    设 是有理数 则 推论1. a, b , a b 2 0 a b 0 思考题: 你能证明 3, 5 是无理数吗? 请猜测可能有怎样更一般的结论?