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案例2 三门问题 （一）三门问题介绍 三门问题又名蒙提霍尔问题(Monty Hall problem), 出自美国的电视游戏节目Let s Make a Deal. 问题名 字来自该节目的主持人蒙提·霍尔 （Monty Hall）. 年 寄给 《展示》 杂志 1990 Craig F. Whitaker (Parade) Ask Marilyn专栏的信件，提出了蒙提霍尔问题， 具体如下： 2 假设你正在参加一个游戏节目.你看见三扇关闭了的 门,其中一扇的后面有一辆汽车，另外两扇门后面则 各藏有一只山羊.选中后面有车的那扇门可赢得该汽 车.你选定了一扇门，但没去打开它.知道门后面有什 么的主持人打开了另一扇后面有山羊的门.主持人问你 要不要换另一扇仍然关上的门.问题是：换另一扇门会 增加你赢得汽车的概率吗？ 3 不妨设你选定了1号门,主持人打开了3号门. 换还是不换呢？ 4 有人认为既然3号门后有山羊,那么汽车一定在1号或 2号门后面.因此换不换门后有车概率都是1/ 2. 228 Marilyn 智商高达 的 在她专栏的回答是换更有优势. 这在美国引起了激烈的争议.人们寄来数千封抱怨信， “ 很多寄信人是科学老师或学者.一位读者写道：这个国 家已经有够多的数学文盲了，我们不想再有个世界上 智商最高的人来充数！真让人羞愧！” 5 但是Marilyn并没有错.最后她用整整4个专栏，数百 个新闻故事及在小学生课堂模拟的测验来说服她的 读者她是正确的. 她说：“哦，那真是太有趣了.实际 上我十分享受这些讨厌的来信.” 6 （二）三门问题解答 假设： 1.汽车事先等可能地放在三个门中的某一个后面； 2.如果你选的门后面是羊，那么主持人肯定打开另 一扇后面是羊的门； 3.如果你选的门后面是车，那么主持人等概率地打 开剩下两扇门中的一扇. 7 解:令 号门后面是车 主持人打开 号门 Bi {i },i 1,2,3,A { 3 }, 则P (B ) P (B ) P (B ) 1/ 3, 1 2 3 P (A | B ) 1/ 2,P (A | B ) 1, 1 2 P (A | B ) 0. 由贝叶斯公式， 3 不换能得到汽车的概率为 P (B )P (A | B ) P (B1 | A) 1 1