高等代数古今数学思想.pdf

第五章 线性空间 5.5 子空间的直和 5.5.1 两个子空间的直和 一 两个子空间的直和 . 子空间的直和 V, V : F空间V 的子空间, 1 2 如果V V O, 则称VV 是V 与V 的直和,记VV. 1 2 1 2 1 2 1 2 例 2 nn 考虑 阶实矩阵所构成的 维实空间 的如下子空间 1. n n : V : 对称矩阵子空间 V :反称矩阵子空间 1 2 V : 上三角矩阵子空间 V : 严格下三角矩阵子空间 3 4 那么可以做成直和的有 V V, V V V V, V V V V 1 2 1 4 2 3 2 4 3 4 定理. 设 是有限维 空间 的子空间 则如下叙述等价 V, V F- V , 1 2 1 VV 是直和,即V V O;   1 2 1 2 2 任一vV V 都可唯一写成v v 形式其中, v V, v V;   1 2 1 2 1 1 2 2 3 V中零向量的分解是唯一的即, 0 v v , v V , v V v v 0   1 2 1 1 2 2 1 2 4 dim V V dim V dim V; 5 V 的基V 的基恰好构成, VV 的基.    1 2  1 2   1 2 1 2 证明: 1  2     vV V v v v V , v V   v V , v V 使得v v v . 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 设v v v u u , 其中v , u V, v , u V , 则 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 v u u v 1 1 2 2  v 