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(3)偏回归系数的t检验 计算偏回归系数 的标准差: t值的计算 : 单侧t分布表 检验: → 如果 说明xj对y的影响显著,否则影响不显著, 4.4.1 一元非线性回归分析 通过线性变换,将其转化为一元线性回归问题 : 直角坐标中画出散点图; 推测y与x之间的函数关系; 线性变换; 用线性回归方法求出线性回归方程; 返回到原来的函数关系,得到要求的回归方程 4.4 非线性回归分析 倒数函数 (reciprocal function) 常见非线性回归方程的回归模型 指数函数 (exponential function) 对数函数 (logarithmic function) 幂函数 (power function) 双曲线 S形曲线 第4章 试验数据的回归分析 4.1 基本概念 (1) 相互关系 ①确定性关系 : 变量之间存在着严格的函数关系 ②相关关系 : 变量之间近似存在某种函数关系 (2) 回归分析(regression analysis) 处理变量之间相关关系的统计方法 确定回归方程:变量之间近似的函数关系式 检验回归方程的显著性 试验结果预测 4.2 一元线性回归分析 4.2.1 一元线性回归方程的建立 (1)最小二乘原理 设有一组试验数据 (如表),若x,y符合线性关系 x x1 x2 …… xn y y1 y2 …… yn 计算值 与试验值yi不一定相等 与yi之间的偏差称为残差: a,b——回归系数(regression?coefficient) ——回归值/拟合值,由xi代入回归方程计算出的y值。 一元线性回归方程 : 残差平方和 : 残差平方和最小时,回归方程与试验值的拟合程度最好 求残差平方和极小值: 正规方程组(normal?equation) : 解正规方程组: 简算法: 采用最小二乘法的基本步骤 根据实验数据画出散点图; 确定经验公式的函数类型; 通过最小二乘法得到正规方程组; 求解正规方程组,得到回归方程的表达式。 4.2.2 一元线性回归效果的检验 (1)相关系数检验法 ①相关系数(correlation?coefficient) : 描述变量x与y的线性相关程度 定义式: ②相关系数特点: -1≤r≤1 r=±1:x与y有精确的线性关系 r<0:x与y负线性相关(negative linear correlation) r>0:x与y正线性相关(positive?linear correlation) r≈0时 ,x与y没有线性关系 ,但可能存在其它类型关系 相关系数r越接近1,x与y的线性相关程度越高 试验次数越少 , r越接近1 当 ,说明x与y之间存在显著的线性关系 对于给定的显著性水平α,查相关系数临界值rmin ③相关系数检验 (2)F检验 ①离差平方和 总离差平方和: 回归平方和(regression?sum?of?square) : 残差平方和 : 三者关系: ②自由度 SST的自由度 :dfT=n-1 SSR的自由度 :dfR=1 SSe的自由度 :dfe=n-2 三者关系: dfT= dfR +dfe ③均方 ④F检验 F服从自由度为(1,n-2)的F分布 给定的显著性水平α下 ,查得临界值: Fα(1,n-2) 若F> Fα(1,n-2) ,则认为x与y有明显的线性关系,所建立的线形回归方程有意义 ⑤方差分析表 4.3 多元线性回归分析 (1)多元线性回归形式 试验指标(因变量)y与m个试验因素(自变量) xj(j=1,2,…,m) 多元线性回归方程: 4.3.1 多元线性回归方程的建立 偏回归系数: (2)回归系数的确定 根据最小二乘法原理 :求偏差平方和最小时的回归系数 偏差平方和: 根据: 得到正规方程组,正规方程组的解即为回归系数。 应用条件: 注意:虽然模型要求因变量是连续数值变量,但对自变量的类型不限。若自变量是分类变量,特别是无序分类变量,要转化为亚变量才能分析。对于自变量是分类变量的情形,需要用广义线性回归模型分析。 多元线性回归分析的步骤 (一)估计各项参数,建立多元线性回归方程模型 (二)对整个模型进行假设检验,模型有意义的前提下,再分别对各偏回归系数进行假设检验。 (三)计算相应指标,对模型的拟合效果进行评价。 27名糖尿病患者的血清总胆固醇(x1)、甘油三酯(x2)、空腹胰岛素(x3)、糖化血红蛋白(x4)、空腹血糖(y)的测量值列于表中,试建立血糖与其它几项指标关系的多元线性回归方程。 各变量的离差矩阵 线性回归
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