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PAGE PAGE 18 例谈运动型问题中的动点问题 　 近年来，中考数学中的运动型问题成为考查学生的热点题型，即用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题. 此类问题集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性，题目灵活、多变，动静结合，较好地渗透了分类讨论、数形结合、转化等数学思想. 它的显著特点是图形中的某个元素（如点、线段、角等）或整个几何图形按某种规律运动.运动型问题可分为质点运动型问题与图形变换问题两类,其中质点运动型问题即为动点问题 ,解决动点问题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程.一方面要注意将运动过程中的各个时刻的图形分类画图，由“动”变“静”；另一方面还要善于抓住在运动过程中某一特殊位置的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系以及特定的限制条件.在求有关图形的变量之间关系时，通常建立函数模型或不等式模型来求解；求图形之间的特殊数量关系和一些特殊值时，通常建立方程模型求解. 　　常见的中考试题中的动点问题包括单质点运动和双质点运动. 　　 一、 单质点运动 1. (2011.贵阳)如图，中，，，，点是在 边上的动点，则长不可能是( ) （A）3.5???? ?? （B）4.2 （C）5.8 （D）7 考点: 特殊锐角三角函数值 答案:D 点评：本题是点在线段上运动，是动点问题的基本图形，解此类题只需考虑点P在点C、点B这两个特殊位置即可，即“化动为静”。 2.(2011.宜宾)如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A,设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是( ) 考点:三角形面积、一次函数图象 答案:B 点评：本题是动点在线段上形成的三角形问题。根据动点在不同位置把自变量分成多个范围，再把所形成的各段不同的三角形面积表示出来，根据函数的图象找到答案。 3.（2011.莆田）如图，将—矩形OABC放在直角坐际系中，O为坐标原点．点A在x轴正半轴上．点E是边AB上的—个动点(不与点A、N重合)，过点E的反比例函数的图象与边BC交于点F。 （1）若△OAE、△OCF的面积分别为．且，求k的值： （2）若OA=2．0C=4．问当点E运动到什么位置时,四边形OAEF的面积最大．其最大值为多少? 考点:反比例函数,二次函数最值, 三角形面积 答案:解：（1）∵点E、F在函数的图象上， ∴设， ∴， ∵，∴，。 （2）∵四边形OABC为矩形，OA=2，OC=4， 设， ∴BE=，BF= ∴ ∵， ∴ = ∴当时，，∴AE=2. 当点E运动到AB的中点时，四边形OAEF的面积最大，最大值是5. 点评：本题是动点与反比例函数结合的一类题,第2问的本质是由动点形成的四边形问题,题中虽点动而形不动，可当作是静态的存在性问题来解决。 4.（2011?南京）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s． （1）当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由； （2）已知⊙O为△ABC的外接圆．若⊙P与⊙O相切，求t的值． 考点：圆与圆的位置关系；勾股定理；直线与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质． 答案：解：（1）直线AB与⊙P相切， 如图，过P作PD⊥AB，垂足为D， 在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∵AC=6cm，BC=8cm， ∴AB=10cm， ∵P为BC中点， ∴PB=4cm，∵∠PDB=∠ACB=90°， ∠PBD=∠ABC， ∴△PBD∽△ABC， ∴PD=2.4（cm）， 当t=1.2时，PQ=2t=2.4（cm）， ∴PD=PQ，即圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径， ∴直线AB与⊙P相切； （2）∵∠ACB=90°， ∴AB为△ABC的外接圆的直径， ∴BO= AB=5cm， 连接OP， ∵P为BC中点， ∴PO= 1/2AC=3cm， ∵点P在⊙O内部， ∴⊙P与⊙O只能内切， ∴5-2t=3，或2t-5=3， ∴t=1或4， ∴⊙P与⊙O相切时，t的值为1或4． 点评：本题是个动点与圆结合的问题，题中点动而带动了形动，要进行分类讨论，着重训练学生的空间想象能力。 5.（2011.莆田）已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴