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For pers onal use only in study and research; not for commercial use For pers onal use only in study and research; not for commercial use 立体几何中的折叠问题 考纲目标： 掌握展开问题与折叠问题中有关线面的位置关系的证明方法，会用 平面展开图解决立体几何中有关最值问题。 通过折叠问题训练使学生提高对立体图形的分析能力，进一步理解 “转化”的数学思想，并在设疑的同时培养学生的发散思维。 考点一几何体展开问题 【例1】 如图,在直三棱柱ABGABiC中,底面ABC为直 角三角形，/ ACB=90 ,AC=6,BC=C(=逅.P 是 BC上一动 点,则CP+PA勺最小值为 .  ［即时训练】如Bl,三棱锥￡ ABC中, SA-AB-AC=2, ZASB=ZBSC= ZCSA=30° , MP 分别为SB. SC上的点,Ml A ANN周长的最小值为 反思归纳： 求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法是选择恰当 的母线或棱将几何体展开，转化为求平面上两点间的最短距离 . 考点二.平面图形的折叠问题 【例2】（2013高考广东卷）如图（1）,在边长为1的等边三角形 ABC中,D,E分别是 AB,AC边上的点，AD=AE,F是BC的中点,AF与 DE交于点6,将厶ABF沿AF折起，得到如图⑵所示的三棱锥 A BCF,其中 BC= 2 . 2 ⑴ 证明:DE //平面BCF; ⑵证明:CF丄平面ABF; ⑶当AD=2时,求三棱锥 F DEG的 3 体积VF』eg ? ，搞清折叠前后的变,明确需要用到的线答题模板： ，搞清折叠前后的变 ,明确需要用到的线 化量和不变量. 第二步：在折叠后的图形中确定线和面的位置关系 面. 第三步：利用判定定理或性质定理进行证明 . 第四步：利用所给数据求边长和面积等，进而求表面积、体积 【即时训练】 1、(2015高考四川卷)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意 图如图所示. ⑴ 请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由); (2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论； ⑶证明：直线DF丄平面BEG. 2.(2015洛阳三模)等边三角形 ABC的边长为2,CD是AB边上的高， E,F分别是AC和BC的中点(如图(1)).现将△ ABC沿CD翻成直二面 角 A- CD-B. (1)求证 (1)求证:AB //平面 DEF; (2)求多面体 D -ABFE的体积。 3.如图所示，在边长为4的菱形 ABCD中，/DAB=60 ° .点E,F分别在 边CD,CB上，点E与点C,D不重合,EF丄AC于点O.沿EF将厶CEF 翻折到△ PEF的位置，使平面 PEF丄平面 ABFED. ⑴求证：BD丄平面 POA; （2）当PB取得最小值时，求四棱锥P-BFED的体积. 【要点总结】折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题，这两种方 式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现。处理这类题 型的关键是抓住两图的特征关系。解答折叠问题的关键在于画好折叠 前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些 没有发生变化。这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题 的依据。而展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，一般地，涉及 到多面体表面的问题，解题时不妨将它展开成平面图形试一试。 作业： 1、（2005浙江理科）12.设M、N是直角梯形 ABCD两腰的 中点，DE丄AB于E（如下图）.现将△ ADE沿DE折起，使 二面角A- DE - B为45° 此时点A在平面BCDE内的射影 恰为点B,则M、N的连线与AE所成角的大小等于 . 2、（ 2009浙江）如图，在长方形 ABCD中，AB = 2 , BC = 1 , E 为DC的中点，F为线段EC （端点除外）上一动点?现将 AAFD 沿AF折起，使平面 ABD _平面ABC .在平面 ABD内过点D作 DK _AB , K为垂足.设AK二t ,则t的取值范围 是 ? 仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途 For personal use only in study and research; not for commercial use. Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden. Pour l e tude et la recherche uniquement a des fins personnelles; pas a