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第六章 理想流体动力学;第一节 平面势流;第二节 速度势函数和 流函数 ;
Φ函数的全微分 (2)
比较(1)和(2)式,得到
(3)
定义函数Φ(x,y,z,t)称为势函数,由Φ可计算得到速度,
根据伯努利方程得到流场中压强的分布。
;速度势函数的特性;特性1 ;特性2;特性3;特性4;二 流函数
在平面流动中,不可压缩流动的连续性方程为
或写成 (4)
(4)是 –vydx+vxdy 成为某一函数Ψ(x,y,t)全微分
的充分必要条件,即
(5)
Ψ的全微分为
(6)
比较(5)和(6),得到
? ,
符合上式条件的函数Ψ(x,y,t)叫做二维不可压缩流
场的流函数。 ;流函数的特性;特性1;特性2;特性3;三 流函数和势函数的关系
在平面势流中有
,
,
交叉相乘得
说明等势线族Φ(x,y,z,t)=C1与流函数族Ψ(x,y,z,t)=C2
相互正交。
在平面势流中,流线族和等势线族组成正交网格,称
为流网。 ;极坐标(r , θ)中,径向的微元线段是dr,圆周的微元线
段是rdθ,速度势函数Φ(r , θ , t)与vr、vθ的关系是
,
速度流函数Ψ(r , θ , t)与vr、vθ的关系是 ,
速度势函数和流函数的关系是
,
;例1;例2;例3;;第三节 复势与复速度;图1 复速度的几何表示;例题;第四节 几种基本的平面势流;一 均匀流;图2 均匀流示意图;二 点源和点汇; 图3a 点源;三 点涡;图4 点涡示意图;第五节 势流的叠加;流动变成n个,同样将n个流动叠加,复合流动的相应量
定义:叠加多个流动时,所得合成流动???复势即为分流
动的复势的代数和,此即势流的叠加原理。
;一 螺旋流 — 点汇(源)+点涡;等势线和流线为相互正
交的对数螺旋线簇,称
为螺旋流。
点汇+点涡 → 阴螺旋流
点源+点涡 → 阳螺旋流;二 偶极子流 — 点源+点汇;
若在2a逐渐缩小时,强度q逐渐增强,当2a减小
到零时,q应增加到无穷大,以使 保持一个有限
值,即 ,在这一极限状态下的流动称为偶
极子流,M是偶极矩,方向从点源到点汇。
偶极子流的复势为
或
新流动的速度势函数和流函数分别为
;求等势线方程和流线方程
1.等势线方程
由于 ,有
得到
整理后 等势线方程为
表示一族圆心在x轴上,并与y轴在原点相切的圆
2.流线方程
由于 , 有
得到
整理后得流线方程为
表示一族圆心在y轴上,并与y轴在原点处相切的圆。
;图6 偶极子流
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