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圆周角定义:顶点在 圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
圆周角定理:
同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。这一定理叫做圆周角定理。
定理证明
已知在⊙O中,∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC,求证:∠BOC=2∠BAC.
证明:
情况1:
如图1,当 圆心O在∠BAC的一边上时,即A、O、B在同一直线上时:
\o 查看图片 ??图1
∵OA、OC是 半径
解:∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO( 等边对等角)
∵∠BOC是△AOC的 外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情况2:
如图2,,当圆心O在∠BAC的内部时:
连接AO,并延长AO交⊙O于D
\o 查看图片 ??图2
∵OA、OB、OC是半径
解:∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO,∠CAD=∠ACO(等边对等角)
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC
情况3:
如图3,当圆心O在∠BAC的外部时:
\o 查看图片 ??图3
连接AO,并延长AO交⊙O于D
解:∵OA、OB、OC、是半径
∴∠BAD=∠ABO( 等边对等角),∠CAD=∠ACO(OA=OC)
∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD
∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD
∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC
定理推论:
1.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;
2.圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半;
3.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的弧也相等。
4.半圆(直径)所对的圆周角是直角。
5.90°的圆周角所对的弦是直径。
注意:在圆中,同一条弦所对的圆周角有两个,一个是优弧所对的角,一个是劣弧所对的角
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