圆有关的证明题(附答案).docVIP

圆有关的证明题 1．如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠A=28°． （1）求∠ACM的度数．（2）在MN上是否存在一点D，使AB·CD=AC·BC，说明理由． 2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半径为3． （1）若圆心O与C重合时，⊙O与AB有怎样的位置关系？ （2）若点O沿CA移动，当OC等于多少时，⊙O与AB相切？ 　3．（苏州市）已知：如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交CA的延长线于点E，∠EBC＝2∠C． 　　①求证：AB＝AC； 　　②若tan∠ABE＝，（ⅰ）求的值；（ⅱ）求当AC＝2时，AE的长． 　　 4．（广州市）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，⊙O的割线PBC过点O与⊙O分别交于B、C，PA＝8cm，PB＝4cm，求⊙O 　　 5．（河北省）已知：如图，BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，若AD︰DB＝2︰3，AC＝10，求sinB的值． 　　 6．（北京市海淀区）如图，PC为⊙O的切线，C为切点，PAB是过O的割线，CD⊥AB于点D，若tanB＝，PC＝10cm，求三角形BCD的面积． 　　 7．（宁夏回族自治区）如图，在两个半圆中，大圆的弦MN与小圆相切，D为切点，且MN∥AB，MN＝a，ON、CD分别为两圆的半径，求阴影部分的面积． 　　 8．（四川省）已知，如图，以△ABC的边AB作直径的⊙O，分别并AC、BC于点D、E，弦FG∥AB，S△CDE︰S△ABC＝1︰4，DE＝5cm，FG＝8cm，求梯形AFGB 　 　　 9．（贵阳市）如图所示：PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线， PA＝10，PB＝5，求： 　　（1）⊙O的面积（注：用含π的式子表示）； 　　（2）cos∠BAP的值． 1．解：（1）连结BC， ∠B=62°． MN是切线∠ACM=∠B=62°． （2）过点B作BD⊥MN，则 △ACB∽△CNB AB·CD1=AC·BC． 过点A作AD2⊥MN，则 △ABC∽△ACD2 CD2·AB=AC·CB 2．解：（1）过点C作CH⊥AB于H，由三角形的面积公式得AB·CH=AC·BC， ∴CH==，即圆心到直线的距离d=． ∵d=3，∴⊙O与AB相离． （2）过点O作OE⊥AB于E，则OE=3． ∵∠AEO=∠C=90°，∠A=∠A，∴△AOE∽△ABC， ∵OA== ∴OC=AC-OA=5-=． ∴当OC=时，⊙O与AB相切． 　3．（1）∵　BE切⊙O于点B，∴　∠ABE＝∠C． 　　∵　∠EBC＝2∠C，即　∠ABE＋∠ABC＝2∠C， 　　∴　∠C＋∠ABC＝2∠C， 　　∴　∠ABC＝∠C，∴　AB＝AC． 　　（2）①连结AO，交BC于点F， 　　∵　AB＝AC，∴　＝， 　　∴　AO⊥BC且BF＝FC． 　　在Rt△ABF中，＝tan∠ABF， 　　又　tan∠ABF＝tanC＝tan∠ABE＝，∴　＝， 　　∴　AF＝BF． 　　∴　AB＝＝＝BF． 　　∴　． 　　②在△EBA与△ECB中， 　　∵　∠E＝∠E，∠EBA＝∠ECB，∴　△EBA∽△ECB． 　　∴　，解之，得EA2＝EA·（EA＋AC），又EA≠0， 　　∴　EA＝AC，EA＝×2＝． 　　4．设⊙的半径为r，由切割线定理，得PA2＝PB·PC， 　　∴　82＝4（4＋2r），解得r＝6（cm）． 　　即⊙O的半径为6cm． 　　5．由已知AD︰DB＝2︰3，可设AD＝2k，DB＝3k（k＞0）． 　　∵　AC切⊙O于点C，线段ADB为⊙O的割线， 　　∴　AC2＝AD·AB， 　　∵　AB＝AD＋DB＝2k＋3k＝5k， 　　∴　102＝2k×5k，∴　k2＝10， 　　∵　k＞0，∴　k＝． 　　∴　AB＝5k＝5． 　　∵　AC切⊙O于C，BC为⊙O的直径， 　　∴　AC⊥BC． 　　在Rt△ACB中，sinB＝． 　6．解法一：连结AC． 　　∵　AB是⊙O的直径，点C在⊙O上， 　　∴　∠ACB＝90°． 　　CD⊥AB于点D， 　　∴　∠ADC＝∠BDC＝90°，∠2＝90°－∠BAC＝∠B． 　　∵　tanB＝， 　　∴　tan∠2＝． 　　∴　． 　　设AD＝x（x＞0），CD＝2x，DB＝4x，AB＝5x． 　　∵　PC切⊙O于点C，点B在⊙O上，∴　∠1＝∠B． 　　∵　∠P＝∠P，∴　△PAC∽△PCB， 　　∴　． 　　∵　PC＝10，∴　PA＝5， 　　∵　PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线， 　　∵　PC2＝PA·PB， 　　∴　102＝5（5＋5 x）．解得x＝3． 　　∴　AD＝