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.
《 几 何 画 板 》 在 立 体 几 何 解 题 教 学 中 的 应 用
数学教学中的数学活动,是为了帮助学生探索未知的事实和规律,它是为了说明思想概念,阐述道理方法,指导学生操作练
习。许多数学问题情景,在传统的黑板和纸笔提供的教学环境中,教师只能讲一讲, 学生只能想一想。用多媒体辅助教学,就
可以变抽象为具体就可以演示、操作了。《几何画板》作为一种适合中学教师使用的教学软件,是 21 世纪的动态几何。用《几
何画板》绘制各种立体图形非常直观,可以解决学生从平面图形向立体图形,从二维空间向三维空间过渡的难题,因为它确实能把一个“活”的立体图形展现在学生面前。
在立体几何中,有些问题用直接法来寻求解题途径比较困难,甚至无从着手,这时用构造法并利用几何体的特点和性质来帮助解题,可起到事半功倍的效果,引入多媒体技术后,利用《几何画板》辅助教学,可以丰富教学模式,实现过程教学,提高了生学习数学的兴趣。
解数学问题时,常规的思考方法是由条件到结论的定向思维。但有些问题按照这种思维方式来寻求解题途径比较困难,甚至
无从着手。在这种情况下,经常要求我们改变思维方向,换一个角度思考,以便找到一条绕过障碍的新途径。构造性思想及其方
法就是这样的一种手段。构造法在立体几何中主要表现在辅助线、体的添加,这就是常说的分形与补形 , 并根据题目的特征 , 精心
构造一个相应的“模型” , 把复杂问题转化为简单问题。由于实际的三维图形 , 总是用二维图形来表示 , 这就造成了学生识图、画
图、用图的困难。这就需要培养学生用运动的观点观察点、线、面的位置关系,使空间图形成为学生头脑中活的思维对象。 《几
何画板》为数学教学提供了一个很好的动态视觉的环境,能对图象进行各种变换、平移、旋转和动画等处理功能。从数学课堂教
学的角度上看,其最大的优点是实现了动态教学,尤其对空间想象能力薄弱的中学生而言,在立体几何的教学中 CAI 的优势得到
了很好的体现和发挥。下面就此谈谈我在利用《几何画板》辅助立体几何解题教学时的一些体会 , 以求教于同行。
一、构造三棱锥
三棱锥是一个特殊的锥体,它的每一个顶点都可以作为三棱锥的顶点,每一个面都可以作为三棱锥的底面 . 利用它不但可以
灵活地计算三棱锥的体积 , 而且还可以求点到平面的距离或异面直线间的距离 .
例 1:已知正方体 ABCD-A B C D 的棱长为 1,求异面直线A D与 AC间的距离 .
1111 1
轴旋转 隐藏 A1C1- 隐藏面 A1D C1 显示 线段 AC1 显示步骤 1 显示步骤 2
移开 合拢 隐藏面 AA1D 隐藏锥线 隐藏形 A1DC1 显示步骤 3 显示步骤 4
B B
A C A C A
D D D
B1
C1
B
1
A1
C1
C 1
(1)
D 1
A1
(2)
A1
(3)
D1
.
.
D
A D A D A
C 1
C1
A
1
(4)
D1
A 1
(5)
D1
C1
D1
A1
(6)
分析:( 利用《几何画板》展示教学步骤 )
如图所示 , 连结 AC , AC
, 则 AC//A C∴ AC //
平面 ADC
1
1
1
1
1
1
1
∴ A 到平面 A1DC1 的距离 h 就是 AC与 DA1
间的距离 .
∴ 1
3
( 2) 2 h
11111
∴ h
3
3
4
3
2
3
3
即 AC、A1 D 间的距离为
3
二、构造正方体
正方体是最特殊的四棱柱,它的六个面都是全等的正方形,线线、线面、面面之间都有垂直或平行关系,这便提供了多姿的
化繁为简的条件,以它为“模型”是最妙不过了 .
例 2: 一个四面体的所有棱长都为
2 ,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为(
). ( 2003 年全国高考题)
A.3B. 4C. 33
D.6
D 1
D 1
C 1
旋转
移开
B 1
A 1
B 1
合拢
隐藏正方体
显示正方体
D
C
A
C
A
B
旋转
移开
合拢
隐藏正方体
显示正方体
分析 : 构造一个棱长为
1 的正方体 ABCD—A B CD(如图 )
1
1
1
连 AB1,AD 1, AC,CD,CB ,B D, 则四面体 B —ACD为符合题意的四面体,它的外接球的直径即为正方体的对角线长
. 设该外接球的半径
1
1
1
1
1
1
为 R, 则 2R=AC=
3 , 所以此正四面体外接球的表面积为
2
S=4 R=3 , 故选 A.
1
例 3:在四面体的四个侧面中
, 直角三角形最多可有 ( ).
A.1 个
B. 2
个
C. 3
个 D.4
个
.
.
D 1
D 1
C 1
A 1
A 1
B 1
B 1
B
D
C
A
B
旋转 移开 合拢 显示正方体 隐藏正方体
分析 : 构造如图所示的正方
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