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《新定义概念问题》专项研究 2015-1-1
北京中考真题
【13年中考题】.对于平面直角坐标系O中的点P和⊙C,给出如下定义:若⊙C上存在两个点A,B,使得∠APB=60°,则称P为⊙C 的关联点。
已知点D(,),E(0,-2),F(,0)
(1)当⊙O的半径为1时,
①在点D,E,F中,⊙O的关联点是__________;
②过点F作直线交轴正半轴于点G,使∠GFO=30°,若直线上的点P(,)是⊙O的关联点,求的取值范围;
(2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点,求这个圆的半径的取值范围。
【12中考题】在平面直角坐标系xOy中,对于任意两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)的“非常距离”,给出如下概念:若|x1-x2|≥|y1-y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|x1-x2|;若|x1-x2|<|y1-y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|y1-y2|.例如:点P1(1,2),点P2(3,5),因为|1-3|<|2-5|,所以点P1与点P2的“非常距离”为|2-5|=3,也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q交点).(1)已知点A(-,0),B为y轴上的一个动点,①若点A与点B的“非常距离”为2,写出一个满足条件的点B的坐标;②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值;(2)已知C是直线y=x+3上的一个动点,①如图2,点D的坐标是(0,1),求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标;②如图3,E是以原点O为圆心,1为半径的圆上的一个动点,求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E与点C的坐标.
【11中考题】.如图,在平面直角坐标系中,我们把由两条射线、和以为直径的半圆所组成的图形叫作图形.已知,,,且半圆与轴的交点在射线的反向延长线上.
⑴ 求两条射线、所在直线的距离;
⑵ 当一次函数的图象与图形恰好只有一个公共点时,写出的取值范围;
当一次函数的图象与图形恰好只有两个公共点时,写出的取值范围;
⑶ 已知平行四边形(四个顶点、、、按顺时针方向排列)的各项点都在图形上,且不都在两条射线上,求点的横坐标的取值范围.
图14解:(1)反向延长射线AE,由已知射线AE的反向延长线一定过点D,连接BD.
图14
∵点D在半圆上,且AB为半圆的直径,
∴,即.
∵AE∥BF,
∴.
图15∴线段BD的长就是两条射线AE、BF所在直线的距离.
图15
∵,,
∴.
由已知A(,0),B(1,0)可知,.
∴,即.
(2) 易知一次函数的图象与AE、BF分别平行.由图象易知,当一次函数的图象与半圆在第二象限相切,或一次函数的图象在平行线AE与BF之间时,一次函数的图象与图形C恰好只有一个公共点,此时b的取值是或;当一次函数的图象与图形C恰好只有两个公共点时,写出b的取值范围.
图16 ⑶ 假设存在满足题意的□AMPQ,根据点M的位置,分以下四种情况讨论:
图16
①当点M在射线AE上时,如图15.
∵A、M、P、Q四点按顺时针方向排列,
∴直线PQ必在直线AM的上方.
∴P、Q两点都在 eq \o(AD,\s\up5(⌒)) 上,且不与点A、D重合.
∴.
∵AM∥PQ且,
图17∴.
图17
∴.
②当点M在 eq \o(AD,\s\up5(⌒)) (不包括点D)上时,如图16.
∵A、M、P、Q四点按顺针方向排列,
∴直线PQ必在直线AM的下方.
此时,不存在满足题意的平行四边形.
③当点M在 eq \o(DB,\s\up5(⌒)) 上时,设 eq \o(DB,\s\up5(⌒)) 的中点为R,则OR∥BF.
图18(ⅰ)当点M在 eq \o(DR,\s\up5(⌒)) (不包括点R)上时,如图17.过点M作OR的垂线交 eq \o(DB,\s\up5(⌒)) 于点Q,垂足为点S,可得S是MQ的中点.连结AS并延长交直线BF于点P.
图18
∵O为AB的中点,可证S为AP的中点.
∴四边形AMPQ为满足题意的平行四边形.
图19∴.
图19
(ⅱ)当点M在 eq \o(RB,\s\up5(⌒)) 上时,如图18.直线必在直线的下方.此时,不存在满足题意的平行四边形.
④当点M的射线BF(不包括点B)上时,如图19.直线PQ必在直线AM的下方.此时,不存在满足题意的平行四边形.
综上所述,点M的横坐标x的取值范围是或.
2014年中考试题
对某一个函数给出如下定义:若存在实数,对于任意的函数值,都满足,则称这个函数是有界函数,在所有满足条件的中,其最小值称为这个函数的边界值.例如,下图中的函数是有界函数,其边界值是1.
(1)分别判断函数和
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