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精品文档，助力人生，欢迎关注小编！ 大学,高等数学,历年考题 一。偏导数的几何应用 1. [20XX] 求曲面在点处的切平面和法线方程 解 令，则 从而切点的法向量为 从而切平面为 法线方程为 3、[07]曲线在点的切线方程为. 4.[07]（化工类做）在曲面上求出切平面，使所得的切平面与平面平行。 解：曲面的法向量应与平面平面的法向量平行， 从而有，由于切点在曲面上 因此切平面为 5.[20XX]已知直线和平面则（ B ） A、在内 B、与平行，但不在内 C、与垂直 D、不与垂直，不与平行 6.[20XX]曲面在点处的法线方程是 7. [20XX]（化工类做） 已知直线和，证明：，并求由所确定的平面方程。 证明：直线上任取两点，则是的方向向量； 的一个方向向量为，因为，所以 设所确定的平面方程为，它经过点和点，所以 所求方程为 二。多元函数 1. 【20XX】设，则 0 2. 【20XX】设,则 3. 【20XX】 函数在点处沿指向点方向的方向导数 4. 【20XX】证明函数在点不连续，但存在有一阶偏导数 解 因为 与有关，故二重极限不存在，因而由连续定义函数在点不连续。 又 ， 或 ，或 于是函数在点存在有一阶偏导数。 5.【20XX】设, 求 解 令，则 ，于是用公式得 6. [20XX] 在曲面上找一点，使它到点的距离最短，并求最短距离。 解 设点为，则 等价于求在约束之下的最小值。令 且由 解得驻点，最短距离为 （令计算起来更加方便，舍去驻点，） 7.[20XX] 8.[20XX] 9.【20XX】设函数有二阶连续偏导数,求函数的二阶混合偏导数. 10.【20XX】求二元函数在点处沿方向的方向导数及梯度，并指出在该点沿哪个方向减少得最快？沿哪个方向的值不变？ 11.【20XX】求函数的极值. 12.[20XX] 13. [20XX] 14. [20XX] 15. [20XX] 16.[20XX] 17.[20XX] 18.[20XX] 设，其中函数具有二阶连续偏导数，求。 解： 19.[20XX] 求函数在圆域的最大值和最小值。 解：方法一：当时，找驻点 ，得唯一驻点 当时，是条件极值，考虑函数 ，解方程组 可得 所求最大值为，最小值为。 方法二：设，则且，这变成一个简单的线性规划问题。最大值为4，最小值为。 方法三：圆域可写成 最大值为4，最小值为。 20.[20XX] （化工类做） 求由方程组所确定的及的导数及。 21.[20XX] （化工类做） 求二元函数在点处沿方向的方向导数及梯度，并指出在该点沿哪个方向减少得最快？沿哪个方向值不变？ 22、[20XX] 函数在点处可微是它在该点偏导数与连续的 必要 条件（填必要、充分或充要），又是它在该点有方向导数的 充分 条件（填必要、充分或充要） 23、[20XX] 设有连续偏导数，则 24、[20XX]（化工类做，即不学级数一章的同学做）给定曲面为常数，其中有连续偏导数，证明曲面的切平面通过一个定点 证：令，则 从而曲面在点处的切平面为 ，其中为动点。 显然时成立，故切平面均过。证毕 25、[20XX]（化工类做，即不学级数一章的同学做）设是曲线在点处的切向量，求函数在该点沿的方向导数 解：方程组两端对求导，得 把代入得，解得，于是在点处的切向量为，单位切向量为 所求方向导数为 26、[20XX] 设，求 解：两边取微分，得 从而， 27、[20XX] 设，则它有极小值 28、[20XX] 设长方形的长、宽、高满足，求体积最小的长方体。 解：令 则，从而 再由即约束条件，可得，从而 由问题的实际意义可知，当体积最小长方体的长、宽、高均为3。 29、[20XX] 设，则 30、[20XX] 已知，则 0 31、[20XX] 函数在点处沿从点到点方向的方向导数是 32、 [20XX]设，其中具有二阶连续偏导数，求. 解： 33、[20XX]（化工类做）证明函数在原点处可微，但在点处不连续 解：由定义 同理 由于 从而函数在原点处可微。 当 由于不存在，因此在点处由于不存在而不连续。 34、[20XX]（化工类做）设是由方程所确定的函数，其中可导，求 解：对方程两边取微分得 即 35、[20XX]求在约束条件下的最大值和最小值 解：令 则 由于最值一定存在，所以最大值为3，最小值为 36.[20XX] 若在点处可微，则下列结论错误的是（ B ） A、在点处连续 B、在点处连续 C、在点处存在 D、曲面在点处有切平面 37.[20XX] 二重极限值为（ D ）