一般二次曲面的化简与分类.pptVIP

6.2 一般二次曲面的化简与分类 （ Simplification and classification of general quadratic surfaces ） 6.2.1 代数理论 ( The algebraic theory ) 由代数知识知道 , 实对称矩阵可用正交矩阵对角化 , 即 ? 对实对称矩阵 A , 存在正交矩阵 T , 使 为对角矩阵 , 且 T AT 对角线上的元素为 A 的特征值 ( 特征根 ) ? 1 , ? 2 , ? 3 , 即方程 det( A ? ? E ) ? 0 的根 , 它们全为实数 , 因而有 ? ? 1 ? ? ? T ? AT ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 经过直角坐标变换 ( 转轴变换 ), 曲面方程为 2 2 2 (6.2-3) ? ? ? ? ? ? ? F ( x , y , z ) ? ? 1 x ? ? 2 y ? ? 3 z ? 2 a 14 ? x ? ? 2 a 24 ? y ? ? 2 a 34 ? z ? ? a 44 ? 0 二次曲面（ 6.1-1 ）的特征方程 关于 ? 的方程 a ? ? a a A ? ? E a a ? ? a = =0 a a a ? ? 称为二次曲面（ 6.1-1 ）的特征方程 . 它是关于 ? 的一元三次方程 , 即 3 2 ? ? ? I 1 ? ? I 2 ? ? I 3 ? 0 解得三个特征值为 ? 1 , ? 2 , ? 3 , . 二次曲面的特征值有以下的性质： （ 1 ） ? 1 , ? 2 , ? 3 不全为零 ; （ 2 ） ? 1 , ? 2 , ? 3 都是实数 ; （ 3 ） ? 1 + ? 2 + ? 3 = I 1 ; （ 4 ） ? 1 ? 2 ? 3 = I 3 . 11 12 13 21 22 23 31 32 33 1 6.2.2 二次曲面的分类与化简 （ simplification and classification of quadratic surfaces ） 在（ 6.2-3 ）的基础之上 , 通过配方 , 在作移轴 , 就可将方程（ 6.2-3 ）进 一步化简 , 并了解所对应的曲面 . 1 ）情形 1 ： ? 1 , ? 2 , ? 3 , 都不为 0. 这时，有 I 3 ≠0 , 即曲面为中心型曲面。 ? a 作移轴 ? , ? x ? x ? ? ? ? a , ? y ? ? y ? ? ? ? a . ? z ? ? z ? ? ? 可得 （ 6.2-4 ） 2 2 2 ? ? ? ? 14 1 24 2 34 3 ? 1 x ? ? 2 y ? ? 3 z ? a 44 ? 0. （ 1 ） ? 1 , ? 2 , ? 3 a 44 0 , x 2 y 2 z 2 ? 2 ? 2 ? 1 ? 0 虚椭球面 1) ? 1 , ? 2 , ? 3 同号 , 标准方程 . 2 a b c x 2 y 2 z 2 2) ? 1 , ? 2 , ? 3 异号 , 标准方程 . 单叶双曲面 ? ? ? 1 ? 0 (2) ? 1 , ? 2 , ? 3 a 44 0 , a 2 b 2 c 2 x 2 y 2 z 2 3) ? 1 , ? 2 , ? 3 同号 , 标准方程 . 椭球面 ? 2 ? 2 ? 1 ? 0 2 a 2 b 2 c 2 x y z 4) ? 1 , ? 2 , ? 3 异号 , 标准方程