【毕业论文】正态分布及其应用.docx

【标题】正态分布及其应用 【作者】李 端 【关键词】正态分布?正态分布曲线?教学评估?试卷评价 【指导老师】林 昌 盛 【专业】数学教育 【正文】1?引言在概率与数理统计中,正态分布是一个有非常重要的理论和实践价值的分布.?数学中的中心极限定理证明：如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素影响造成的（不管这些随机因素本身服从什么分布），那么这个随机变量就服从或近似服从正态分布?.因此，由不能控制的大量偶然因素造成的测量的随机误差就服从或近似服从正态分布?.一般说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布?.2?正态分布的概念正态分布又名高斯分布，是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力?.它是一种概率分布?.正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是遵从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，若某一随机变量的概率密度函数为上式，则称该变量X服从参数为μ和σ的正态分布，记为：X～N（μ,σ2）所以正态分布记作N(μ，σ2?)?.遵从正态分布的随机变量的概率规律为取?μ邻近的值的概率大?，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散?.正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点?.它的形状是中间高两边低?，图像是一条位于x?轴上方的钟形曲线?.当μ＝0，σ2?＝1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）?.μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布?.多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布?.正态分布概率密度函数为：?通常所说的标准正态分布就是μ?= 0,σ?= 1的正态分布?.3?正态分布的发展?正态分布是最重要的一种概率分布?.正态分布概念是由德国的数学家和天文学家亚伯拉罕?棣莫弗于1733年受次提出的，但由于德国数学家高斯率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称?.高斯是一个伟大的数学家，重要的贡献不胜枚举?.但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线?.这传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项?.在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来?.这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后?.皮埃尔-西蒙?拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章(发表于1810年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布?.这是历史上第一次提到所谓“元误差学说”——误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成?.后来到1837年，海根在一篇论文中正式提出了这个学说?.?其实，他提出的形式有相当大的局限性：海根把误差设想成个数很多的、独立同分布的“元误差”?之和，每只取两值，其概率都是1/2，由此出发，按狄莫佛的中心极限定理，立即就得出误差(近似地)服从正态分布?.皮埃尔-西蒙?拉普拉斯所指出的这一点有重大的意义，在于他给误差的正态理论一个更自然合理、更令人信服的解释?.因为，高斯的说法有一点循环论证的气味：由于算术平均是优良的，推出误差必须服从正态分布；反过来，由后一结论又推出算术平均及最小二乘估计的优良性，故必须认定这二者之一(算术平均的优良性，误差的正态性)?为出发点?.但算术平均到底并没有自行成立的理由，以它作为理论中一个预设的出发点，终觉有其不足之处?.拉普拉斯的理把这断裂的一环连接起来，使之成为一个和谐的整体，实有着极重大的意义?.?　??由一般分布的频数表资料所绘制的直方图，图（1）可以看出，高峰位于中部，左右两侧大致对称?.设想，如果观察例数逐渐增多，组段不断分细，直方图顶端的连线就会逐渐形成一条高峰位于中央（均数所在处），两侧逐渐降低且左右对称，不与横轴相交的光滑曲线图（3）?.这条曲线称为频数曲线或频率曲线，近似于数学上的正态分布?.由于频率的总和为100%或1，故该曲线下横轴上的面积为100%或1?.????为了应用方便，常对正态分布变量X作变量变换　　?,该变换使原来的正态分布转化为标准正态分布，亦称u分布?.u被称为标准正态变量或标准正态离差?.4?正态分布的主要特征????????????????????????????