基本公式排列组合二项式定理及概率统计.docx

基本公式·排列组合二项式定理及概率统计 151 排列数公式 m m 1) n！ * ，且 m n ) ．规定 0! 1 ： An = n(n 1) (n = ( n ， m ∈N (n m)！ 154 组合数的两个性质 :(1) C nm = Cnn m ;(2) C nm + Cnm 1 = C nm 1 规定 Cn0 1 组合恒等式 n Cnm11 ; n （ 3） Cnm （4） C nr = 2n ; m r 0 （ 5） C rr C rr 1 C rr 2 C nr C nr 11 (6) C 0 C 1 C 2 C r C n 2n n n n n n (7) C n1 C n3 Cn5 Cn0 C n2 C n4 2n 1 (8) C n1 2Cn2 3C n3 nCnn n2n 1 (9) C mrC n0 C mr 1Cn1 C m0r C nr C mr n (10) (C n0 ) 2 (C n1 )2 (C n2 ) 2 (Cnn )2 C 2nn 156 排列数与组合数的关系 : Anm m！Cnm 157．单条件排列 （以下各条的大前提是从 n 个元素中取 m 个元素的排列） （ 1）“在位”与“不在位” ①某（特）元必在某位有 Anm 11 种；②某（特）元不在某位有 Anm Anm 11 （补集思想） An1 1 Anm 11 （着眼位 置） Anm 1 Am1 1Anm 11 （着眼元素）种 （ 2）紧贴与插空（即相邻与不相邻） ①定位紧贴： k(k m n) 个元在固定位的排列有 Akk Anm kk 种 ②浮动紧贴： n 个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有 Ann kk 11 Akk 种 注：此类问题常用捆绑法； ③插空：两组元素分别有 k、h 个（ k h 1），把它们合在一起来作全排列， k 个的一组互不能挨近的所有排 列数有 Ahh Ahk 1 种 （ 3）两组元素各相同的插空 m 个大球 n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？ 当 n m 1 时，无解；当 n m 1 时，有 An n m 1 Cm 1 种排法 Ann （ 4）两组相同元素的排列：两组元素有 m个和 n 个，各组元素分别相同的排列数为Cmn n 158．分配问题 （ 1 ） ( 平 均分 组有 归属 问 题 ) 将相 异 的 mn 个物 件等 分给 m 个 人， 各 得 n 件 ，其 分配 方法 数共 有 N C mnn Cmnn n C mnn 2n C 2nn C nn (mn)! (n! )m （ 2）( 平均分组无归属问题 ) 将相异的 mn 个物体等分为无记号或无顺序的 m 堆，其分配方法数共有 N C mnn Cmnn n Cmnn 2n ... C2nn Cnn (mn)! m! m!(n! )m （ 3）( 非平均分组有归属问题 ) 将相异的 P(P=n1 +n2 + +nm) 个物体分给 m 个人，物件必须被分完，分别得 到 n1 ， n2 ， ? ， nm 件 ， 且 n1 ， n2 ， ? ， nm m 个 数 彼 此 不 相 等 ， 其 分 配 方 法 数 共 有 n 1 n 2 n m p! m! N C p C p n1 ...Cn m m! n1 !n2 !...nm ! （ 4）( 非完全平均分 有 属 ) 将相异的 P(P=n1 +n2 + +nm) 个物体分 m 个人，物件必 被分完，分 得到 n1 ， n2 ，?， nm 件，且 n1 ， n2 ，?， nm m 个数中分 有 a、 b、 c、?个相等， 其分配方法数有 C pn1 C pn2 n1 ...C nnmm m! p!m! N a!b!c!... n1 ! n2 !...nm !( a!b!c!...) （ 5）( 非平均分 无 属 ) 将相异的 P(P=n1 +n2 + +nm) 个物体分 任意的 n1 ， n2 ，?， nm 件无 号 的 m 堆，且 n1 ， n2 ，?， nm m p! 个数彼此不相等， 其分配方法数有 N n1! n2 !...nm! （ 6）( 非完全平均分 无 属 ) 将相异的 P(P=n1 +n2 + +nm) 个物体分 任意的 n1 ， n2 ，?， nm 件无 号 的 m 堆 ， 且 n1 ， n2 ， ? ， nm m 个 数 中 分 有 a 、 b 、 c 、 ? 个 相 等 ， 其 分 配 方 法 数 有 N  p! n1! n2!...nm! (a!b!c!... ) （ 7）( 限定分 有 属 ) 将相异的 p （