概率论以及数理统计第二章试题附答案.docx

习题 2-2 设 A 为任一随机事件 , 且 P( A)= p(0 p1). 定义随机变量 1, A发生 , X 0, A不发生 . 写出随机变量 X 的分布律 . 解 X 0 1 P 1- p p 2. 已知随机变量 X 只能取 -1,0,1,2 四个值 , 且取这四个值的相应概率依次为 1 , 3 , 5 , 7 . 试确定常数 c, 并计算条件概率 P{ X 1 | X 0} . 2c 4c 8c 16c 解 由离散型随机变量的分布律的性质知， 1 3 5 7 1, 2c 4c 8c 16c 37 所以 c. 16 1 P{ X 1} 8 . 所求概率为 P{ X1| X 0 }= 1 2c 7 P{ X 0} 5 25 2c 8c 16c 3. 设随机变量 X 服从参数为 2, p 的二项分布 , 随机变量 Y服从参数为 3, p 的二项分 布, 若 P{X ≥ 1} 5 , 求P{Y≥1}. 9 解 注意 p{x=k}= Cnk pkqn k , 由题设 5 P{X ≥1} 1 P{ X 0} 1 q2 , 9 故 q 1 p 2 从而 . 3 P{Y ≥1} 1 P{ Y 0} 1 ( 2 )3 19 . 3 27 4. 在三次独立的重复试验中 , 每次试验成功的概率相同 , 已知至少成功一次的概率为 19 求每次试验成功的概率 . , 27 解 设每次试验成功的概率为 p, 由题意知至少成功一次的概率是 19 ，那么一次都没 8 . 8 1 . 27 有成功的概率是 即 (1 p)3 , 故 p = 27 27 3 5. 若 X 服从参数为 的泊松分布 , 且P{X 1} P{ X 3} , 求参数 . 解 由泊松分布的分布律可知 6 . 6. 一袋中装有 5 只球 , 编号为 1,2,3,4,5. 在袋中同时取 3 只球 , 以 X 表示取出的 3 只球中的最大 , 写出随机变量 X的分布律 . 解 X 的分布律是 X 3 4 5 P  1 3 3 10 10 5 习题 2-3 设 X 的分布律为 X -1 0 1 P 0.15 0.20 0.65 求分布函数 F( x), 并计算概率 P{ X0}, P{ X2}, P{-2 ≤ X1}. 0, x 1, 0.15, 1≤ x 0, 解 (1)F( x)= 0≤ x 1, 0.35, 1, x≥1. P{ X0}= P{ X=-1}=0.15; P{ X2}= P { X=-1}+ P{ X=0}+ P{ X=1}=1; P{-2 ≤ x1}= P{ X=-1}+ P{ X =0}=0.35. 设随机变量 X 的分布函数为 F( x) = A+Barctan x - ∞x+∞ . 试求 : (1) 常数 A 与 ;(2) X 落在 (-1, 1] 的概率 . B 解 (1) 由于 F(- ∞) = 0, F(+∞)=1, 可知 A B( ) 0 1 1 2 A , B. A B( ) 1 2 2 (2) P{ 1 X≤1} F (1) F( 1) 1 1 1 1 arctan( 1)) ( arctan1) ( 2 2 1 1 1 1 ( ) 1 . 2 4 2 4 2 设随机变量 X 的分布函数为 0, x 0, F( x)= x ≤ x 1, 2 1, ≥ x 1, 求 P{ X≤ -1}, P{0.3 X0.7}, P{0 X≤2}. 解 { F ( 1) 0 , PX≤ 1} P{0.3 X0.7}= F(0.7)- F{0.3}- P{ X=0.7}=0.2, {0 ≤ 2}= (2)- (0)=1. P X F F 习题 2-4 选择题 (1) 2x, x [0, c], 则 f ( x) 是某一随机变量的概率密度 设 f (x) x 如果 c=( ), 0, [0, c]. 函数 . (A) 1 . (B) 1.(C) 1. (D) 3 . 3 2 2 本题应选 (C ). (2) 设 X ~ N (0,1), 又常数 c 满足 P{ X≥c} P{ X c} , 则 c 等于 ( ). (A) 1. (B) 0. (C) 1 . (D) -1. 2 本题应选 (B). (3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是 ( ). cos x, x [0, ], 1 x 2, (A) f ( x) (B) f ( x) , 0, 其它 . 2 0, 其它 . ( x 2 1 ) x ≥ 2 2 e , ≥ 0, e , x 0, (C) f ( x) (D) f (x) 2 0, x 0. 0, x 0. 本题应选 (D). (