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概率作业 B答案 -(2) 普通高等教育“十一五”国家级规划教材 随机数学 B） 标准化作业简答 吉林大学公共数学中心 2013.2 3 第一次作业 一、填空 1．解： 填 2 . 9 分析： 本空 含基本事件 数 C102 ，事件所含 基本事件数 10 个，即（1,2 ）（，2，3）?，（9,10 ）， （10,1 ）共 10 个，故所求概率 10 2 . C102 9 2． 填 0.6. 分析 : P(AB) P(A B) P(A B) 1 P( A B) 1 P( A) P(B) P(AB) , 故 P(B) 1 P( A) 0.6. 3． 填 1 ． 3 填17. 25 5． 填 2 ． 3 6． 填 41． 2 二、 1．（D）．2.（C）．3．（B）．4.（ C）．5．（C）．6. 1 （A）. 三、计算题 1．将 n 只球随机地放入 N n N 个盒子中，设每 个盒子都可以容纳 n 只球，求：（1）每个盒子最 多有一只球的概率 p1 ；（2）恰有 m m n 只球放入某 一个指定的盒子中的概率 p2 ；（3）n 只球全部都放 入某一个盒子中的概率 p3 ． 解：此题为古典概型，由公式直接计算概率 . （1） p1 PNn N n . （2） CNm (N 1)n m p2 N n. （3） p3 N 1 N n N n 1 . 2．三个人独立地去破译一份密码，已知每个 人能译出的概率分别为 1 , 1 , 1 ，问三人中至少有一 5 3 4 人能将此密码译出的概率是多少？ 解：设 Ai 表示事件“第 i 个人译出密码”，i 1,2,3. B 表示事件“至少有一人译出密码” . 则 P(B) 1 P(A1 A2 A3) 1 P( A1)P(A2)P(A3) 1 4 2 3 3 . 5 3 4 5 2 3．随机地向半圆 0 y 2ax x2 (a 0) 内掷一点，点落 在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与 x 轴夹角小于 的概率 . 4 解：此为几何概型问题 . 设 A 表示事件“原点与该点的连线与 x 轴夹角小于 ”. 4 则 P(A) a 2 a2 1 1 4 2 . a 2 2 2 4．仪器中有三个元件 , 它们损坏的概率都是 0.2, 并且损坏与否相互独立 . 当一个元件损坏时 , 仪器发生故障的概率为 0.25, 当两个元件损坏 时, 仪器发生故障的概率为 0.6, 当三个元件损坏时 , 仪器发生故障的概率为 0.95, 当三个元件都不损坏时 , 仪器不发生故障 . 求：（1）仪器发生故障的概率；（2）仪器发生故障时恰有二个元件损坏的概率 . 解 : 设A表示事件“仪器出现故障”， 3 Bi表示事件“有 i个元件出现故障”， i=1，2， 3. （1） P(A) 3 P( Bi ) P(A Bi ) ， i 1 P(B1) 3 0.2 0.82 0.384 ， P(B2 ) 3 0.22 0.8 0.096 ， P(B3 ) 0.23 0.008 . 所以 P( A) 0.384 0.25 0.096 0.6 0.008 0.95 0.1612 . （2） P(B2 A) P( AB2 ) 0.096 0.6 P( A) 0.3573 . 0.1612 5．在 100 件产品中有 10 件次品；现在进行 5 次放回抽样检查， 每次随机地抽取一件产品， 求下列事件的概率：（1）抽到 2 件次品；（2）至少抽到 1 件次品． 解：设 Ai 表示取到 i 件次品， i 0,1,2,3,4,5. 1） P( A2 ) C52 0.1 2 1 0.1 3 0.73. 2） P( A0 ) 1 1 0.1 5 0.41. 四、证明题 1．设 0 P(A) 1,0 P(B) 1,P(A | B) P( A |B) 1 ，证明事件 A与 B 相互独立． 证明：由定义证明 . 4 P(A|B) P(A|B) 1 P(A|B) 1 P(A|B) P(A|B) P( AB) P( AB ) P( B) P(B) P( AB) P( A) P (AB ) P( B) 1 P(B) P( AB) P( A) P( B) 所以事件 A 与 B 相互独立． 2．设事件 A 的概率 P( A) 0 ，证明 A 与任意事件 都相互独立． 证明：设 B 为任意事件，显然 AB A , 从而 0 P( AB) P( A) 0 ，即 P(AB) 0 ，满足 P(AB) P( A)P(B) ， 故 A 与任意事件都相互独立． 5 6 第二次作业 一、填空题 1．应填 11 . 24 应填