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概率统计 - 习题及答案 -(2) 习题二 2.1 从装有 4 个黑球， 8 个白球和 2 个黄球的箱子中，随机地取出 2 个球，假定每取出 1 个黑球 得 2 分，而每取出 1 个白球失 1 分，每取出 1 个黄球既不得分也不失分。以 X 表示我们得到的分数，求 X 的概率分布。 2.2 口袋中有 5 个球，分别标有号码 1，2，3，4， 5，现从这口袋中任取 3 个球。 1）设 X 是取出球中号码的最大值，求 X 的概率分布，并求出 X 4 的概率； 2）设 Y 是取出球中号码的最小值，求 Y 的概率分布，并求出 Y 3的概率。 2.3 10 个灯泡中有 2 个坏的，从中任取 3 个，设 X 是取出 3 个灯泡中好灯泡的个数。 1）写出 X 的概率分布和分布函数。 2）求所取的 3 个灯泡中至少有 2 个好灯泡的概率。 2.4 某种电子产品中，合格品占 3 4 ，不合格品 ６３ 占 1 4 ，现在对这批产品随机抽取，逐个测试，设第 X 次才首次测到合格品，求 X 的概率分布。 2.5 已知某人在求职过程中每次求职的成功率都是 0.4 ，问他预计最多求职多少次，就能保证有 99%的把握获得一个就业机会？ 2.6 已知 1000 个产品中有 100 个废品。从中任意抽取 3 个，设 X 为取到的废品数。 1）求 X 的概率分布，并计算 X =1 的概率。 2）由于本题中产品总数很大，而从中抽取产品的数目不大，所以，可以近似认为是“有放回 地任意抽取 3 次”，每次取到废品的概率都是 0.1，因此取到的废品数服从二项分布。 试按照这一假设，重新求 X 的概率分布，并计算 X =1 的概率。 2.7 一个保险公司推销员把保险单卖给 5 个人，他们都是健康的相同年龄的成年人。 根据保险统计表，这类成年人中的每一个人未来能活 30 年的概率是 2/3。求： 1）5 个人都能活 30 年的概率； 2）至少 3 个人都能活 30 年的概率； ６４ 3）仅 2 个人都能活 30 年的概率； 4）至少 1 个人都能活 30 年的概率。 2.8 一张答卷上有 5 道选择题，每道题列出了 3 个可能的答案， 其中有一个答案是正确的。 某学生靠猜测能答对至少 4 道题的概率是多少？ 2.9 设随机变量 X 、Y 都服从二项分布， X ～ b( 2, p) ， Y ～ b(3, p) 。已知 P{ X 1} 5 ，试求 P{ Y 1} 的值。 9 2.10 设在某条公路上每天发生事故的次数服从参数 3 的普阿松分布。 1）试求某天出现了 3 次或更多次事故的概率。 2）假定这天至少出了一次事故，在此条件下重做（ 1）题。 2.11 某商店出售某种商品， 据以往经验， 月销售量服从普阿松分布 P(3) 。问在月初进货时要库存多少此种商品，才能以 99%的概率充分满足顾客的需要。 ６５ 2.12 考虑函数 f ( x)  C (2x x3 ) 0 x 2/ 5 0 其他 能否作为随机变量的概率密度？如果能， 试求出常数 C 的值。 2.13 已知随机变量 X 的概率密度为 f ( x) Ax 0 x 1 ， 0 其他 求：（1）系数 A ；（2）概率 P{ X 0.5} ； （3）随机变量 X 的分布函数。 2.14 已知随机变量 X 的概率密度为 f (x) Ae x ， （ x）。求： 1）系数 A ；（2）随机变量 X 落在区间（ 0， 1）内的概率； （3）随机变量 X 的分布函数。 2.15 函数 F (x) 1 2 是否是连续型随机变量 X 的分 1 x 布函数，如果 X 的可能值充满区间 1） ( , )； （2）( ,0)。 2.16 设连续型变量 X 的分布函数为： ６６ 0 x 0 F (x) Ax 2 0 x 1 1 x 1 求：（1）系数 A ；（2） X 的概率密度 ( 2) ； （3） P{ 0.3 X 0.7} 。 2. 17 （柯西分布）设连续型随机变量 X 的分布函数为 F ( x) A B arctan x ， ( x ) ， 求：（1）系数 A、 B ； （2） X ( 1,1)的概率； （3） X 的概率密度。 2.18 公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过。乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的， 求乘客候车时间不超过 3 分钟的概率。 2.19 假定一个新的灯泡的寿命 X （单位：小时） 服从以 1/100为参数的指数分布。求： 1）灯泡的寿命在 50 到 200 之间的概率； 2）设 F ( x) 是 的分布函数，已知 F (x p ) p ， 0 p 1，求 xp 。 2. 20 修理某机器所需时间（单位：小时）服从 ６７ 以1/ 2 为参数的指数分布。试问：