教案：14.1 勾股定理 第四课时 反证法-数学八年级上册.docVIP

PAGE 课 题：14.1 勾股定理 第四课时 反证法 ＆.教学目标： 1.知道什么是反证法，了解用反证法证题的步骤。 2.会用反证法证不易直接证法证明的简单问题。 3.通过利用反证法推证命题，体会逆向思维，培养学生的逆向思维能力及思考问题的全面性。 ＆.教学重点、难点： 重点：反证法推证命题的步骤。 难点：反证法的逻辑推理过程。 ＆.教学过程： 一、情景导入 古时候有一个卖矛和盾的商人，卖矛的时候说他的矛是世界上最锐利的矛，什么样的盾都能戳破；卖盾的时候说他的盾是世界上最坚固的盾，什么样的矛都戳不破。于是，就有人问他：“假设你说的都是真的，那么用你的矛戳你的盾，会如何呢？”这个商人无言以对。提出疑问的人用的是一种什么样的逻辑方法呢？本节我们学习逻辑推理的另一种方法——反证法。 二、探究新知 我们知道：在中，若，，，且，则. 问题：在中，若，，，且，请问结论成立吗？为什么？ 解析：如果我们从条件出发证明结论是很困难的，我们可采用下面的方法证明： 假设，由勾股定理的逆定理可知是直角三角形，且，这与已知条件矛盾.假设不成立，从而说明原结论成立。 这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成力，然后经过正确的逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，说明假设不成立，从而得到原结论正确，像这样的证明方法叫做反证法。 ＆.反证法的定义： 首先假设结论的反面成力，然后经过正确的逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，说明假设不成立，从而得到原结论正确，像这样的证明方法叫做反证法。 探究1：通过例题，你能归纳出反证法证明的一般步骤吗？ 步骤： （1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面是正确的； （2）从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾的结论； （3）由矛盾判定假设不正确，从而得出原结论正确。 ∵ ∴（等式的基本性质） 探究2：反证法适合证明哪几类问题？ 可以证明以下几类问题： （1）结论以否定的形式出现的命题； （2）以“至多”“至少”或者“不多于”等形式陈述的命题； （3）关于“唯一性”或者“存在性”结论的命题； （4）某一系统的起始命题。 思考：运用反证法需要注意什么问题？ 归纳：反证法需要注意的问题有： （1）反证法否定的是结论，而不是已知条件； （2）周密考查原命题结论的反面，如果不只是一种情况，必须把各种情况列举出来并逐一否定后，才能证明原命题结论正确； （3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的。 三、讲解例题，巩固新知 §.例1、求证：两条直线相交只有一个交点。 已知：两条相交直线、. 求证：与只有一个交点. 解析：想从已知条件“两条相交直线、”出发，经过推理，得出结论“它们只有一个交点”是很困难的，因此可以考虑用反证法。 证明：假设与不止一个交点，不妨假设有两个交点、. ∵两点确定一条直线，即经过点和的直线有且只有一条，这与已知两条直线矛盾，假设不成立 ∴两条直线相交只有一个交点。 归纳：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾.反证法的首要一步要找到结论的反面，如果第一步错误，后面所给予的前提都不成立。 同步练习：写出下列各结论的反面： （1）是实数；（2）大于；（3）小于；（4）两条直线平行 §.例2、已知：有、、三条直线，且， 求证： 证明：假设与不平行，则可设它们的交点为. 那么过点就有两条直线、与直线平行 这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立. 故 §.例3、求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于. 已知： 求证：中至少有一个内角小于或等于. 证明：假设中没有一个内角小于或等于 即，， ∴ 这与三角形内角和为矛盾，假设不成立。 ∴中至少有一个内角小于或等于. 归纳：“至少有一个”包括一个和一个以上，它的反面是“没有”，要特别引起大家的重视。 §.例4、用反证法证明：等腰三角形的底角必定为锐角。 已知：在中，. 求证：、为锐角. 解析：解题的关键是反证法的第一步否定结论，需要分类讨论。 证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，那么只有两种情况： 第一种情况：两个底角是直角； 由 则 这与三角形的内角和定理矛盾 ∴这个假设不成立. 第二种情况：两个底角是钝角. 由， 则 这与三角形的内角和定理矛盾 ∴“两个底角是钝角”这个假设不成立. 故原命题正确。 注意：本例中“是锐角（小于）”的反面有两种情况，这时，必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能成立，最后才能肯定命题的结论一定正确.此题是对反证法的进一步理解。 §.例5、已知：如图，中，、两点分别在、上. 图 1CDEABA 图 1 C D E A BA 证明：假设、互相平分.连结 ∴四边