大数定理与中心极的限定理应用.ppt

单 第四章大数定理与中心极限定理 1. chebyshev不等式 两个常用大数定理 两个常用的中心极限定理 ●大数定理与中心极限定理的应用  Chebysher不等式 Chebyshev不等式 定理:设随机变量X的数学期望与方差存在,且E(X)=, D(X)=a,则对于任意的实数E0恒有 X-川≥e} 证明:(对连续型情况证明)设随机变量X的概率密度为∫(x). 对于X的取值当x42时,便有(x≥1 所以有Px-A22=Jf(k(h x-4=8 x-ll f(xdx  注意:P{x-A2e}≤台P{x-e}21- 二、 Chebyshev不等式的应用 概率的估算 P{-EXH+}≥1 例41设一种小麦品种在某产地的平均产量为750斤, 标准差为5斤,试求该小麦品种今年在该地区亩产 量在700于800斤之间的概率 解:设该地区次小麦品种的亩产量为X 由题设知E(X)=750D(X)=152,由 Chebysher不等式有 P(7005X800=PX-75915 ≈0.91 502  理论证明的工具 例42设X为随机变量,DX)=0分P{X=c}=1 证明:充分性显然成立。 必要性 由于D(X)=0 由 Chebysher不等式,对于任意E0有 1≥PX-E(X) (X) 即有P{X-E(X)e}=1 由于的任意性,便有P{X=E(X)=1 选c=E(X)便得所要结论 注意:这说明当D(X)=0时,X就失去了随机性  大数定理 The law of large numbers 、大数定律的客观背景 事件发生的频率稳定于某一常数 大量随机试验中 测量值的算术平均值具有稳定性 大量抛掷硬币 生产过程 文章中字 正面出现频率 中的废品率 母使用频率  、两个常用的大数定理 随机变量序列依概率收敛 Def设X1,X2,…,X,…是一个随机变量序列,a是 个常数,若对于任意正数,有 lim P( -aka=l 则称序列X1,X2,…,X…依概率收敛于a,记为 注意:{Xn}依概率收敛于a,意味对任意给定的E0 当n充分大时,事件Xn-d的概率很大,接近于1 并不排除事件Xn-≥e的发生,而只是说他发生的 可能性很小;依概率收敛比高等数学中的普通意义下 的收敛弱些,它具有某种不确定性  大数定理 定理1( Chebyshev大数定理 设X1,X2,…,X,…是独立的随机变量 序列,每个随机变量的数学期望E(X1) 与D(X)存在,且存在正实数M,使 得对任意有D(X,)≤M,则对任意正 切比妥夫, 实数E0,恒有 Chebysher lim P ∑x-∑E(xe}=1 n→)+0 证明:因为E(∑X)=∑E(X) D(∑x,) D(X;) M  由 Chebysher不等式,对于任意的正实数有 D(∑X) l≥P E(X)E}≥1 所以mP∑x-∑E(X) 推论:设X,X2,…,Xn,…是独立同分布 随机变量序列,且数学期望为山,方 差σ2,则对于任意的正实数E有 X1-E}=1 这个定理表明X Khintchin i=1  定理2( Bernoulli数定理 设是n次独立重复试验中事件A出现的 次数,p是事件A在每次试验中发生的概 率,则对于任意正实数,恒有 lim p n→+ n Pe= 第次试验出现事件A; 雅各布笫一·伯坍利 证明:令X1=0第次试验不出现事件A Bernau 于是有X1,X2,…,X,相互独立,且E(X,)=P D(X)=pq s l,2, 由 Chebysher大数定理有limP p8  三、大数定理的应用 Khintchin大数定理应用 这一定理表明:同一量X在相同条件下观测n次, 当观测次数n充分大时,“观测值得算术平均值接近 期望值”是一个大概率事件,即下式以大概率成立 n充分大 ∑X,≈E(X) 寻找随机变量的期 望值提供了一条实 际可行的途径 Berno大数定理应用 这一定理表明:在相同条件下重复同一随机试验 n次,当试验次数n充分大时,“事件A发生的频率接近 其概率”是一个大概率事件,即下式以大概率成立 n充分大 f4≈P(A 寻找随机事件概率提供 了一条实际可行的途径