《圆的一般方程》教学设计(优质课).docx

圆的一般方程 （一）教学目标 1．知识与技能 （1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方 程确定圆的圆心半径，掌握方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 表示圆的条件 . （2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方 程. （ 3）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力 . 2．过程与方法 通过对方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析 解决问题的实际能力 . 3．情感态度与价值观 渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇 于探索. （二）教学重点、难点 教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确 定方程中的系数， D、E、F. 教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用 （三）教学过程 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 课题引入 问题：求过三点 A （0 ，0） ，B （1 ，1） ，C （4 ， 2）的圆的方程 . 让学生带着问题进 行思考 设疑激趣导 入课题.  利用圆的标准方程解决此问题显然有些 麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的 局限性，那么这个问题有没有其它的解决 方法呢？带着这个问题我们来共同研究 圆的方程的另一种形式——圆的一般方 程. 请同学们写出圆的标准方程： （x – a）2 + 整个探索过程由学 通过学生对 22 (y – b) 2 = r 2，圆心 (a， b) ，半径 r. 生完成，教师只做引 圆的一般方 把圆的标准方程展开，并整理： 导，得出圆的一般方 程的探究，使 2 2 2 2 2 x + y –2ax – 2by + a + b –r =0. 程后再启发学生归 学生亲身体 取 D = –2a，E = –2b，F = a2 + b2 – r2 纳. 会圆的一般 得 x2 + y2 + Dx + Ey+F = 0 ① 圆的一般方程的特 方程的特点， 这个方程是圆的方程 . 点： 及二元二次 反过来给出一个形如 x2 + y2 + Dx + Ey + （1）① x2和 y2的系 方程表示圆 概念形成 F= 0 的方程，它表示的曲线一定是圆吗？ 数相同，不等于 0. 所满足的条 与深化 ②没有 xy 这样的二 件. 把 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 配方得 次项. 22 (x D2)2 (y E2)2 D E4 4F ②(配方过 （2）圆的一般方程 程由学生去完成 ） 这个方程是不是表示 中有三个特定的系 圆？ 数 D、 E、F，因此只 （1）当 D2 + E2 – 4 F0时，方程②表 要求出这三个系数， 圆的方程就确定 示以 （ D , E） 为圆心， 22 了.  1 1 D 2 E2 4F 为半径的圆； 2 （3）与圆的标准方 程相比较，它是一种 （2）当 D2 + E2 – 4F = 0 时，方程只有 实数解 x D,y E ，即只表示一个点 22 特殊的二元二次方 程，代数特征明显， DE （ 2 , 2）； 圆的标准方程则指 （3）当 D2 + E2 – 4 F0时，方程没有 出了圆心坐标与半 实数解，因而它不表示任何图形 . 径大小，几何特征较 综上所述，方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 明显. 0 表示的曲线不一定是圆 . 只有当 D2 + E2 – 4 F0时，它表示的曲 线才是圆，我们把形如 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 的表示圆的方程称为圆的一般方 程. 例 1 判断下列二元二次方程是否表示圆 学生自己分析探求 通过例题讲 的方程？如果是，请求出圆的圆心及半 解决途径：①用配方 解使学生理 径. 法将其变形化成圆 解圆的一般 （1）4x2 + 4 y2 – 4x + 12 y + 9 = 0 的标准形式 . ②运用 方程的代数 应用举例 （2）4x2 + 4 y2 – 4x + 12 y + 11 = 0 圆的一般方程的判 特征及与标 解析：（1）将原方程变为 断方法求解 . 但是， 准方程的相 x2 + y2 – x + 3 y + 9 = 0 4 要注意对于（ 1）4x2 互转化更进 D = –1，E =3，F = 9. 2 + 4y – 4x + 12y + 一步培养学 4 9 = 0 来说，这里的 生探索发现 ∵D2 + E2 – 4F = 1 0 D= –1，E= 3，F 9 4 及分析解决  ∴此方程表示圆，圆心（ 21， 32 ），半径 1 r = . 2 （2）将原方程化为 x2 + y2 – x + 3 y + 11 = 0 4 D = –1，E =3，F = 11