小学奥数教程：分数裂项计算 全国通用(含答案).docx

分数裂项计算 教学目标 本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为 观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分 运算，使其变得更加简单明了。 本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的 前提，是能力的体现，对学生要求较高。 知识点拨 分数裂项 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整 数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的 观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂 的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1 1 1 1 那么有 ? ( ? ) a ?b b ?a a b 1 a ?b  形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a ?b ， (2)对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即： 1 1 ， n ?( n ?1) ?( n ?2) n ?(n ?1) ?(n ?2) ?(n ?3) 1 1 1 1 ? [ ? n ?( n ?1) ?( n ?2) 2 n ?(n ?1) ( n ?1)(n ?2)  形式的，我们有： ] 1 1 1 1 ? [ ? n ?( n ?1) ?( n ?2) ?( n ?3) 3 n ?( n ?1) ?( n ?2) ( n ?1) ?( n ?2) ?( n ?3) 裂差型裂项的三大关键特征：  ] 分子全部相同，最简单形式为都是1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数)的，但是只要将 x 提取出来即可转化为分子都是 1 的运算。 分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接” 分母上几个因数间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： ? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1） a ?b a b 1 1 ? ? ? ? （2） a ?b a ?b a ?b b a a 2 ?b 2 a 2 b 2 a b ? ? ? ? a ?b a ?b a ?b b a 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的， 同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 例题精讲 1 1 1 1 1 【例 1】 ? ? ? ? ? 1 ?2 2 ?3 3 ?4 4 ?5 5 ?6  。 【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】美国长岛，小学数学竞赛 ?1 1 ? ?1 1 ? ?1 1 ? 1 1 5 【解析】 原式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 ? ?2 3 ? ?5 6 ? 1 6 6 提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为： 1 1 1 1 ?1 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ． 1 ?3 3 ?5 5 ?7 7 ?9 ?1 9 ? 2 1 1 1 1 ? ? ? ，计算过程就要变为： 1?3 3 ?5 5 ?7 7 ?9 【答案】  1 1 1 【巩固】 ? ?...... ? 10 ?11 11 ?12 59 ?60 【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 1 1 1 1 1 1 1 1 1 【解析】 原式 ?( ? ) ?( ? ) ?...... ?( ? ) ? ? ? 10 11 11 12 59 60 10 60 12 【答案】 1 12 2 2 2 2 【巩固】 ? ? ? ? ? 10 ?9 9 ?8 5 ?4 4 ?3 【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 ?1 1 1 1 1 1 1 1 ? ?1 1 ? 【解析】 原式 ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? ?9 10 8 9 4 5 3 4 ? ?3 10 ? 7 15 【答案】 7 15 1 1 1 1 【例 2】 ? ? ? ? 1 1 ?2 1 ?2 ?3 1 ?2 ? ?100 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单 的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的 1 1 2 1 1 2 代入有 ? ? ， ? ? ，……， 1 (1