人教版八上数学之等腰三角形性质及判定(提高)知识讲解.pdfVIP

等腰三角形性质及判定（提高） 【学习目标】 1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直． 2. 掌握等腰三角形的判定定理． 3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算． 【要点梳理】 要点一、等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底， 两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC 中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC 为腰，BC 为底边, ∠A 是顶角，∠B、∠C 是底角． 要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为 锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. 180A ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . 2 【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定，知识要点】 要点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线 合一”）． 2.等腰三角形的性质的作用 性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据． 性质2 用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． 3.等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情 况只有一条对称轴． 要点三、等腰三角形的判定 如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相 等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 【典型例题】 类型一、等腰三角形中的分类讨论 【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例2 （1）】 1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )． A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120° 【答案】D； 【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、 直角、钝角，然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答． (1)顶角为锐角如图①，按题意顶角的度数为60°； (2)顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为0°不符合题意； (3)顶角为钝角如图②，则顶角度数为120°，故此题应选D． 【总结升华】这是等腰三角形按顶角分类问题，对于等腰三角形按顶角分：等腰锐角三角形、 等腰直角三角形和等腰钝角三角形，故解此题按分类画出相应的图形再作答. 举一反三： 【变式】（2015•杭州校级二模）等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角 是 ． 【答案】50°或80°． 解：①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角， 则此顶角为：180°﹣100°=80°， 则其底角为：（180°﹣80°）÷2=50°； ②若100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角， 则此底角为：180°﹣100°=80°； 故这个等腰三角形的底角为：50°或80°． 故答案为：50°或80°． 类型二、等腰三角形的操作题 2、根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两 个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹，在图中标注分割后的角度）；并根据每 种情况分别猜想：∠A与∠B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？ （1）如图①△ABC中，∠C＝90°，∠A＝24°；猜想： （2）如图②△ABC 中，∠C＝84°，∠A＝24°；猜想： 【思路点拨】在等腰三角形中，“等边对等角”与“等角对等边”，本题应从角度入手进行考 虑. 【答案与解析】 （1）作图： 猜想：∠A＋∠B＝90°， （2）作图： 猜想：∠B＝3∠A. 【总结升华】对图形进行