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做学问的功夫,是细嚼慢咽的功夫。
2.2.1.2?对数的运算性质
一、内容及其解析
(一)内容:对数的运算性质及其推导。
(二)解析:本节课是关于对数的一节推理课,是高中新课改人教?A?版教材第二章的
第二节的第二节课.在此之前,学生已经学习过了对数的概念、指数的运算性质并了解了
指数与对数之间的关系,对数的运算性质就是在此基础上展开讨论的。本节课教学的重点
是对数的运算性质;难点是对数运算性质的推导。从指数与对数的关系以及指数运算性质,
推导得到对数的运算性质,学生在学习过程中可能感觉难以入手,这时,教师可以以第一
个运算性质的推导为例,向学生展示推导的思路,再引导学生进行第二个和第三个运算性
质的推导并引导学生分析运算性质成立的条件。之后再通过一些题目来考察学生对对数运
算性质的应用。
二、目标及其解析
(一)教学目标
1.掌握并能够推导对数的运算性质;
2.能够正确应用对数的运算性质处理相关问题.
(二)解析
1.掌握并能够推导对数的运算性质指的是:(1)正确记忆对数的运算性质;(2)理
解对数运算性质的使用条件;(3)能从指数与对数的关系以及指数运算性质出发,推导
得出相应对数的运算性质。
2.能够应用对数的运算性质处理相关问题指的是:能够正确使用对数的运算法则;运
算结果的表达正确;对于一些较复杂的运算问题能综合运用对数的运算法则进行运算推
理。
三、问题诊断分析
本节课容易出现的问题是:学生从指数的运算法则推导出对数的运算法则很难入
手。要解决这一问题,教师要做好示范,以第一个运算性质的推导为例,从指数和对数的
关系出发,通过设中间量和恒等变形,来达到转化的目的。对于第二个和第三个运算性质,
要由教师提出具体的问题,让学生类比第一个性质的推导过程,自主探索,教师巡视并给
予适当指导。
四、教学过程设计
(一)、复习引入:
1.对数的定义 log?N???b 其中?a???(0,1) (1,??)?与?N??(0,??)
a
2.指数式与对数式的互化
3.重要公式:
⑴负数与零没有对数;
做学问的功夫,是细嚼慢咽的功夫。
Ma?N⑵?log?1???0?,?log?a??
M
a?N
a a
⑶对数恒等式?a?logaN???N
a?m???a?n???a?m?n?(m,?n???R)
3.指数运算法则?(a?m?)?n???a?mn?(m,?n???R)
(ab)?n???a?n???b?n?(n???R)
(二)、新授内容:
积、商、幂的对数运算法则:
如果?a??0,a???1,M??0,?N??0 有:
log?(MN)???log?M???log?N (1)
a a a
log ??log?M???log?N (2)
a a
log?M?n???nlog?M(n???R) (3)
a a
证明:①设?log?M=p,?log?N=q
a a
由对数的定义可以得:M=?a?p?,N=?a?q
∴MN=?a?p?a?q?=?a?p?q ∴?log?MN=p+q,
a
即证得?log?MN=?log?M?+?log?N
a a a
②设?log?M=p,?log?N=q
a a
由对数的定义可以得?M=?a?p?,N=?a?q
M a?p M
∴ ? ??a?p?q ∴?log
N a?q a?N
??p???q
即证得?log
a
M
N
??log?M???log?N
a?a
③设?log?M=P 由对数定义可以得?M=?a?p?,
a
∴?M?n?=?a?np ∴?log?M?n?=np, 即证得?log?M?n?=n?log?M
a a a
说明:上述证明是运用转化的思想,先通过假设,将对数式化成指数式,并利用幂的
运算性质进行恒等变形;然后再根据对数定义将指数式化成对数式
①简易语言表达:“积的对数?=?对数的和”……
②有时逆向运用公式:如?log?5???log?2???log?10???1
10 10 10
③真数的取值范围必须是?(0,??)?:
log?(?3)(?5)???log?(?3)???log?(?5)?是不成立的
2 2 2
做学问的功夫,是细嚼慢咽的功夫。
log?(?10)?2???2?log?(?10)?是不成立的
10 10
④对公式容易错误记忆,要特别注意:
log?(MN?)???log?M???log?N ,?log?(M???N?)???log?M???log?N
a a a a a a
(三)、合作探究,精讲点拨
例?1?计算
(1)?log?25, (2)?log
5
0.4
1,?(3)?log?(?4?7?×?2?5?),?(4)lg?5?100
2
解析:用对数的运算性质进行计算.
解:(1)?log?25=?log?5?2?=2
5
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