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第十二届全国大学生数学竞赛初赛试题参考答案
(非数学类, 2020 年11 月)
一、(本题满分30 分，每小题6 分) 填空题：
2
(x −sin x)e−x
【1】 极限lim = .
x→0 1−x3 −1
3 1 3
【解】 利用等价无穷小：当x →0 时，有 1−x −1 − x ，所以
2
2
(x −sin x)e−x x −sin x 1−cos x 1
lim = −2 lim = −2 lim = − .
3 2
x→0 1−x3 −1 x→0 x x→0 3x 3
【2 】 设函数f (x) =(x +1 n −x2 ，则f (n) (−1) = .
) e
【解】 利用莱布尼兹求导法则，得
n−1
(n) −x2 k n (k ) −x2 (n−k )
f (x) = n!e +C [(x +1) ] (e ) ，
n
k =0
n!
所以f (n) (−1) = .
e
x 2 2 1
【3 】 设y f 是由方程arctan = ln x + y − ln 2 + 确定的隐函数，且
= (x)
y 2 4
满足f ，则曲线y f 在点 处的切线方程为 .
(1) =1 = (x) (1,1)
y −
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