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13.4 课题学习 最短路径问题 1. 如图， A 、 B 两地在一条河的两岸，现要在 河上建一座桥 MN ，桥造在何处才能使从 A 到 B 的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线， ? . 桥要与河垂直） A· M N E B 作法： 1. 将点 B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到 E ， 2. 连接 AE 交河对岸于点 M, 则点 M 为建桥的位置， MN 为所建的桥 。 证明：由平移的性质，得 BN ∥ EM 且 BN=EM, MN=CD, BD ∥ CE, BD=CE, 所以 A 、 B 两地的距离为 AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN 。 若桥的位置建在 CD 处，连接 AC ， CD ， DB ， CE, 则 A 、 B 两地的距离为： AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN 。 在 △ ACE 中， ∵ AC+CE ＞ AE, A· M C N D ∴ AC+CE+MN ＞ AE+MN, 即 AC+CD+DB ＞ AM+MN+BN E B 所以桥的位置建在 CD 处， A 、 B 两地的路程最短 。 2. 如图， A 、 B 是两个蓄水池，都在河流 a 的同侧，为了方便 灌溉作物， ? 要在河边建一个抽水站，将河水送到 A 、 B 两地 问该站建在河边什么地方， ? 可使所修的渠道最短，试在图 中确定该点。 作法： 作点 B 关于直线 a 的对称点 C, 连接 AC 交直线 a 于点 D ，则点 D 为建抽 水站的位置。 证明：在直线 a 上另外任取一点 E ，连接 AE ， CE ， BE ， BD 。 ∵点 B ， C 关于直线 a 对称 , 点 D ， E 在直线 a 上，∴ DB=DC, EB=EC , a A B ∴AD+DB=AD+DC=AC, · · AE+EB=AE+EC 在△ ACE 中， AE+EC ＞ AC, 即 AE+EC ＞ AD+DB D C E 所以抽水站应建在河边的点 D 处 再见！ 20 19 POWERPOINT SUCCESS 2018 年 12 月 12 日星期三 10