多面体截面的画法专题.pdf

玲珑画板官网：/ 玲珑画板QQ 学习群4 ：722078522 多面体截面的画法专题 引子，先看一道2019 武汉高三某次质检题： 题：如图，点A ，B ，C，M ，N 为正方体的顶点或所在棱的中点。则下列各图中不满足直线 MN ∥平面ABC 的是（ ） 这道题，很迷惑人。直观感觉是都平行，好象没有答案。 是不是出题人搞错了? 1 玲珑画板官网：/ 玲珑画板QQ 学习群4 ：722078522 嘿嘿，把截面画出来，答案一下就清楚了。 所以多面体截面的画法非常重要，是基本功。 一、几何体的截面画法 截面作图的题型可以分为以下几种情况： 1、过某些点的截面图 （见例1、2、3、4 ）， 关键：咱们的作图可分为两大类：一是作平行线，二是找交点。 ★公理 3 ：若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直 线。 ★公理2 的推论2 ：过两条相交直线，有且仅有一个平面。（两条相交直线共面） ★公理2 的推论3 ：过两条平行直线，有且仅有一个平面。（两条平行直线共面） ★平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行。 ★线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一平面与此平面的 交线与该直线平行。 ★面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平 行。 2、作平行于某条直线成平面的截面。（见例5 ） 3、作垂直于某一直线成平面的截面。（见例6） 4、作与某一直线或平面成一定角度的截面。（见例7 ） 2 玲珑画板官网：/ 玲珑画板QQ 学习群4 ：722078522 在考试中一般会考察一些较为明显的，角度易找易算的图形。一般要求根据线面角，二 面角的定义来作图。 ★直线和平面所成角： ★二面角： ★三垂线定理及其逆定理： 例 1：如图，点M ，N ，P 为正方体所在棱的中点。作出过此三点的平面截正方体所得的截 面图形。 分析点线面关系，找到突破口及思路：作平行线。 1、取棱中点A ，连NA ，可证NA 平行PM 。 2、取棱中点B，连AB，可证AB 平行NM 。 3、同利用平行关系找到棱中点C 点，然后连接各线。 3 玲珑画板官网：/ 玲珑画板QQ 学习群4 ：722078522 总结：例1 的关键就是作平行线。 例2：如图，点M ，N ，P 为正方体所在棱的中点。作出过此三点的平面截正方体所得的截 面图形。 思路：延长找交点。 4 玲珑画板官网：/ 玲珑画板QQ 学习群4 ：722078522 例3 ：如图，点M ，N ，P 为正方体所在棱的中点。作出过此三点的平面截正方体所得的截 面图形。 分析：图中没有显著的平行关系可以使用。可以考虑找交点的方式来作图。例如延长 PM ，应该与底面相交。若能找到这个交点，从而连接它与点N ，从而交线可得。而问题恰 恰在于这个交点在哪里? 一般来说，要确定一条直线和一个平面的交点， 最好能明确它与平面内的哪条直线相交，此处，直 线 MP 与底面的四条边所在的直线均为异面直线， 因些交点肯定在别的直线上，而这条直线既然能与 MP 相交，它们必然是共面直线，本题突破口，也 就是在这 “共面”二字上。 5 玲珑画板官网：/ 玲珑画板QQ 学习群4 ：722078522 如下图，PM 与底面的交点B ，你知道是怎么做的么? 根据比例关系可以知道C 也是棱的中点。确定C 点后面就很简单