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百度文库 巧用圆锥曲线定义解有关最值问题 广东石油化工学院高州师范学院 309 数学（ 4）班 李国晓 【摘要】 圆锥曲线涉及到两大定义，圆锥曲线的第一定义和圆锥曲线的第 二定义。巧用圆锥曲线的定义 , 通过具体实例说明求最值的一些方法 , 如果能很好地理解和掌握圆锥曲线的定义，也能用它来解决很多代数问题。 【关键词】 圆锥曲线 最值 目标函数 圆锥曲线是用代数方法来研究几何问题 , 它处于代 数与几何的交汇处。 如果能很好地理解和掌握圆锥曲线的定义，也能用它来解决很多代数问题。圆锥曲线作为高考必考内容 , 当一道题目涉及到线段距离、圆锥曲线位置关系等等 , 而且又与焦点有关时，我们通常可考虑利用定义来求解。利用圆锥曲线定义求解的基本特点是解题思路比较简 单, 规律性较强。而圆锥曲线的定义是由曲线上的点到焦点的距离来刻画的 , 由此可对一些距离进行有效的转化 , 因此在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时 , 应先想到利用定义进行求解 , 这样会有事半功倍之效。 下面谈谈如何巧用圆锥曲线的定义来求最值问题。 一、圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）第一定义在最值问题中的巧用 圆锥曲线的第一定义既是推导圆锥曲线标准方程的依据，又是用来解决一些问题的重要 方法，一般情况下，当问题涉及焦点或准线，且用其它方法不易求解时，可考虑运用定义求 1 百度文库 解。圆锥曲线中涉及到很多最值问题，如果方法不当，求解过程就很复杂。有些与焦点和准 线有关的问题，从第一定义入手，就很容易解决问题，下面举例说明圆锥曲线中常见的最值 问题。 圆锥曲线第一定义在求最值的一般形式： PA PF 的最值。其中，在曲线 C （椭圆、双 曲线、抛物线）内一定点（异于焦点）， P 是曲线 C 上的一个动点， F 是曲线 C 的一个焦点。 椭圆第一定义在最值问题中的巧用 椭圆第一定义： 平面内到两定点 F1 、F2 的距离之和等于常数 2a 的动点 M 的轨迹叫椭圆， 即 MF1 MF2 2a 。 例 1：椭圆 x2 y 2 1 上一点 P 到两个焦点距离之积为 m ，求 m 的最大值，并求出当 m 取 25 9 得最大值时 P 点的坐标。 分析：此题求 P 点到两焦点之积，由不等式性质和椭圆第一定义，可转化为两距离之和 来求解。 解：设椭圆 x2 y 2 1的左右焦点分别为 F1 、 F2 , PF1 PF2 10 , 25 9 PF1 2 PF2 m PF1 PF2 2 25 时取等号，此时点 P 为短轴的端点。 , 当且仅当 PF1 PF2 所以 P 的坐标为（ 0，3）或（ 0， -3 ）时， m 的最大值为 25。 当圆锥曲线中的最值问题涉及到圆锥曲线的焦点时， 可以考虑应用圆锥曲线的定义解题。 此题是动点到两焦点距离之积，从而联系了第一定义：动点到两定点距离之和等于定值 2a。 再结合不等式性质，把目标函数转化为容易求解的函数，从而问题得解。 例 2：已知椭圆 x 2 y 2 1 内有一点 A（2，1）， F 为椭圆的左焦点， P 是椭圆上动点， 16 求 PA PF 的最大值与最小值。 分析：目标函数 PA PF , 考虑用普通方法比较难解，则我们可作适当转化，利用椭圆 第一定义，把 PF 转化为与另一焦点有关的线段，即 PF 2a PF , 再结合平面内三点共线 2 百度文库 时有最值，而点 P 在线段 延长线的不同侧时，会使 目标函数取得最大值或最小值。 解：如图 1，设椭圆的右焦点为 F ，可知其坐标为 F （ 3， 0），由椭圆的第一定义得： PF PF 10 ，则 PA PF 10 PA PF ，可知，当 P 为 AF 的延长线与椭圆的交点 时， PA PF 最大，最大值为 AF 2 ，当 P 为 F A 的延长线与椭圆的交点时， PA PF 最小，最小值为 AF 2 。故 PA PF 的最大值为 10 2 ，最小值为 10 2 。 本题中巧用第一定义解题：动点到两定点距离之和等于定值 2a ，两定点为焦点， a 为长 半轴，利用这定义，把所要求的目标函数中的一个焦半径转化为另一焦半径，考虑在什么情 况下所求函数值最大， 把目标函数转化为容易求解的函数。 在把 PA PF 转化 10 PA PF 3 百度文库 时，即转化为 A 、 F 、 P 三点共线进行讨论，当 P 点在 AF 延长线时，所求函数有最大值， 当 P 点在 F A 的延长线时，所求函数有最小值。注意在这类问题中，“和”与“差”中一个 不可求，就用定义转化为另一个。正确地画出图形，利用平面几何知识，一般都可以解决问 题。 双曲线的第一定义在最值问题中的巧用 双曲线第一定义：平面内点 M 与一定点 F 的距