均值不等式求最值的常用技巧与习题[含解答经典].docx

. .. . .. 利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题（含解答）（经典） 一．基本不等式的常用变形 1. 若 x 1 2 ( 当且仅当 x 1 时取“ =”）; 若 x 0 ，则 x 1 0 ，则 x 2 ( 当且仅当 x x _____________ 时取“ =”） 若 x 0 1 2即 x 1 2或 x 1 ( 当且仅当 ____________时取“ =”） ，则 x x -2 x x 2. 若 ab 0 ，则 a b 2 ( 当且仅当 ____________ 时取“ =”） b a 若 ab 0 ，则 a b 2即 a b 2或 a b -2 ( 当且仅当 _________时取“ =”） b a b a b a 注：（ 1）当两个正数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时，可 以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” ． 2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”二、利用基本不等式求最值的技巧： 技巧一：直接求： 例 1 已知 x, y R ，且满足 x y 1 ，则 xy 的最大值为 ________ 。 3 4 解：因为 x0，y0，所以 x y 2 x y xy ( 当且仅当 x y ，即 x=6，y=8 时取等号 ) ， 3 4 3 4 3 3 4 于是 xy 1 ， xy 3. ，故 xy 的最大值 3. 3 变式：若 log 4 x log 4 1 1 y 2 ，求 x 的最小值 . 并求 x, y 的值 y 解：∵ log 4 x log 4 y 2 log 4 xy 2 即 xy=16 1 1 1 1 2 1 当且仅当 x=y 时等号成立 2 x y x y xy 2 技巧二：配凑项求 例 2：已知 x 5 ，求函数 y 4 x 2 1 的最大值。 4 4x 5 解： x 5 , 5 4x 0， y 4x 2 1 5 4 x 5 1 3231 4 4 x 5 4 x 当且仅当 5 4x 1 ，即 x 1 时，上式等号成立，故当 x 1 时， ymax 1。 5 4 x 例 3. 当 时，求 y x(8 2x) 的最大值。 解： 当 ，即 x＝ 2 时取等号 当 x＝ 2 时， y x(8 2x) 的最大值为 8。 学习参考 . .. . .. 变式：设 0 x 3 4x(3 2x) 的最大值。 ，求函数 y 2 3 2 解：∵ 0 ∴ 3 2x 0 ∴ y 4x(3 2x) 2 2x(3 2x) 2 2x 3 2x 9 x 2 2 2 当且仅当 2x 3 2x, 即 x 3 0, 3 时等号成立。 4 2 例 4. 求 y x2 7x 10 ( x 1) 的值域。 x 1 解： 当 , 即 时 , y 2（ x 1) 4 9 （当且仅当 x＝ 1 时取“＝”号）。 x 5 1 练习： 1、已知 0 x 1，求函数 y x(1 x) 的最大值 . ； 2、 0 x 2 x(2 3x) ，求函数 y 3 技巧三：“ 1”的巧妙利用 （常数代换） 错 解 ： x 0, y 0 ， 且 1 9 1 ， 1 9 9 故 x y x y 2 2 xy 12 ． ． x y x y xy x y min 12 。 错 因 ： 解 法中 两 次 连 用基 本 不 等 式， 在 x y 2 xy等 号 成 立 条 件 是 x y ，在 1 9 2 9 等号成立条件是 1 9 即 y 9x , 取等号的条件的不一致，产生错误。因此， x y xy x y 在利用基本不等式处理问题时， 列出等号成立条件是解题的必要步骤， 而且是检验转换是否有误的一种方法。 正解 ： x 0, y 0, 1 9 1 ， x y 1 9 y 9x x y y x 1061016 x y x y y 9 x 1 9 4, y 12 时， x y min 16 。 当且仅当 y 时，上式等号成立， 又 1 ，可得 x x x y 1 x, y R 且 2x y 1，求 1 1 的最小值 变式： （ ）若 x y (2) 已知 a, b, x, y R 且 a b 1 ，求 x y 的最小值 x y 学习参考 . .. . .. 2：已知 x 0, y 0，且 1 9 1，求 x y 的最小值。 x y (3) 设 a 0, b 0. 若 3是3a 与3b 的等比中项，则 1 1 的最小值为（ ）． ． 1 a b A ． 8 B ． 4 C ． 1 D 解析： 因为 3a 3b 3 ，所以 a 4 b 1。 又 a 0, b