高中数学北师大版一轮复习 第十章 第3节相关性、最小二乘估计与统计案例.docVIP

第3节　相关性、最小二乘估计与统计案例 最新考纲　1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系；2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归方程系数公式不要求记忆)；3.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用；4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用. 知 识 梳 理 1.变量间的相关关系 (1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系. (2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关. 2.回归分析 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析.其基本步骤是：(ⅰ)画散点图；(ⅱ)求回归直线方程；(ⅲ)用回归直线方程作预报. (1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线. (2)回归直线方程的求法——最小二乘法. 设具有线性相关关系的两个变量x，y的一组观察值为(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，则回归直线方程y＝a＋bx的系数为： 称为样本点的中心. (3)相关系数 当r＞0时，表明两个变量正相关； 当r＜0时，表明两个变量负相关. r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强. r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性. 3.独立性检验 (1)设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值， 变量A：A1，A2＝A1； 变量B：B1，B2＝B1. 2×2列联表 B A　　 B1 B2 总计 A1 a b a＋b A2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 构造一个随机变量χ2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量. (2)独立性检验 利用随机变量来判断“两个变量有关联”的方法称为独立性检验. (3)当数据量较大时，在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断 ①当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的； ②当χ2＞2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联； ③当χ2＞3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联； ④当χ2＞6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联. [微点提醒] 1.求解回归方程的关键是确定回归系数eq \o(a,\s\up6())，eq \o(b,\s\up6())，应充分利用回归直线过样本中心点(eq \o(x,\s\up6(－))，eq \o(y,\s\up6(－))). 2.根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若χ2越大，则两分类变量有关的把握越大. 3.根据回归方程计算的eq \o(y,\s\up6())值，仅是一个预报值，不是真实发生的值. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系.(　　) (2)通过回归直线方程y＝bx＋a可以估计预报变量的取值和变化趋势.(　　) (3)因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验.(　　) (4)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2值越大.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2.(选修2－3P87问题提出)为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视.在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，用下列哪种方法最有说服力(　　) A.回归分析 B.均值与方差 C.独立性检验 D.概率 解析　“近视”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断. 答案　C 3.(选修2－3P78讲解改编)两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是(　　) A.模型1的相关系数r为0.98 B.模型2的相关系数r为0.80 C.模型3的相关系数r为0.50 D.模型4的相关系数r为0.25 解析　在两个变量y与x的回归模型中，它们的相关系数r越近于1，模拟效果越好，在四个选项中A的相关系数最大，所以拟合效果最好的是模型1. 答案　A 4.(2019·焦作模拟)已知变量x和y的统计数据如下表： x 3 4 5 6 7 y 2.5 3 4 4.5 6 根据上表可得回归直线方程为y＝bx－0.25，据此可以预测当x＝8时，y＝(