拉格朗日中值定理辅助函数构造法的证明.pdf

维普资讯 第22卷第6期 荆门职业技术学院学报 2007年 6月 V01．22No．6 JournalofJingmenTechnicalCollege Jun．20o7 拉格朗日中值定理辅助函数构造法的证明 袁欣欣 (河源职业技术学院 教育系，广东 河源 517000) [摘 要] 文章给出了用四则运算以及两个函数的复合运算构造辅助函数来证明拉格 朗日中值定理的方法，这也 是用基本初等函数构造全部初等函数的方法，因而比较圆满地解决了辅助函数构造问题。 [关键词] 拉格朗 日中值定理；辅助函数；复合运算 [中图分类号] O174．4 [文献标识码] A [文章编号] 1008—4657(2007)06—0069—03 一 般的教科书用罗尔定理的结论来证明拉格朗日定理，为此作辅助函数 F()= )一 (一口)一 口) 这里p(x)是函数 )与g(x)=一k(x一口)-f(口)之和：p(x)= )+g(x)。 本文要讨论的是辅助函数 p(x)的更一般的形式。借助罗尔定理证明拉格朗日定理所作的辅助函 数p(x)要满足三个条件：1)r(x)在区间[口，b]上连续，在开区间(口，b)内可导；2)F(口)=F(b)；3)由 F()=0能导出厂()=k。 1 构造F()为 )与g()之和的形式 设p(x)= )+g(x)，由F()=0，得到厂()+g()=0，而厂()=k，应有k+g()=0。 由于罗尔定理中“中间值”的复杂性，只能让上式中的 不是特定值，而是区间(0，6)内任一值 ，即 k+g()=0 (1) 上式是关于g(x)的一个微分方程，这时g(x)的形式是g(x)=一 +c(c为任意常数)，容易验证：条件 F(口)=F(b)与p(x)的连续性和可微性也恰好得到满足。这里，p(x)与g(x)的几何意义是十分明显 的。 2 取 F()为 )与g()之积 设 p(x)= )·g(x)+qH(x) (2) 其中H(x)是一任意选定的有连续导数的函数，g是待定常数，g(x)是待定函数。g(x)与常数g的选取要 使得：1)F(x)满足罗尔定理连续与可微的条件；2)F(a)=F(b)；3)由F()=0能导出厂()=k。 由图1，可以假定总有 )0。 利用上一节选取g(x)的思路，这时g(x)是微分方程 x)g()+砖g()+qh(x)=0 (h(x)=H ()) (3) 的解 。 微分方程理论指出g(x)有如下形式： g()=qH。()+c月r2() (4) 其中c是任意常数，由F(a)=F(b)，即 [收稿 日期]2006—11—13 [作者简介]袁欣欣(1972一)，女，广东河源人，河源职业技术学院讲师。研究方向：高等数学。E—mml：yxx3888385 @ yahoo．tom．ca。 69 维普资讯 图 1 -，【引 0不葸 圈 口)·[g (Ⅱ)+c (Ⅱ)]+ (Ⅱ)= b)[qH (b)+ (b)]+qH(b) 得到q与c满足 [ 口)·日(口)一 b)I-1(b)+日(0)一日(6)]q=[ 6) (6)一 口)I-I2(口)]·C