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初中数学 矩形的性质和判定
编稿老师 巩建兵 一校 黄楠 二校 杨雪 审核 宋树
【考点精讲】
概念
对称性:轴对称 形
性质 对角线相等且互相平分
矩形
四个角都是直角
定义
判定方法 有三个角是直角的四边形
对角线相等的平行四边形
【典例精析】
例题1 如图,在△ABC 中,AB =6,AC =8,BC =10,P 为边BC 上一动点(且点
P 不与点B 、C 重合),PE ⊥AB 于点E ,PF ⊥AC 于点F ,M 为EF 中点。设AM 的长为
x ,试求x 的最小值。
思路导航:根据勾股定理的逆定理求出△ABC 是直角三角形,得出四边形AEPF 是矩
1 1
2 2
形,所以AM = EF = AP ,在Rt△ABC 中利用AP 求出x 的最小值。
答案:解:连接
2 2 2 2 2
AP ,∵AB =6,AC =8,BC =10,∴AB +AC =36 +64 =100,BC =100,∴AB +AC
2
=BC ,∴∠BAC =90°,∵PE ⊥AB ,PF ⊥AC,∴∠AEP =∠AFP =∠BAC =90°,∴四边
1 1
2 2
形AEPF 是矩形,∴AP =EF ,∵∠BAC =90°,M 为EF 中点,∴AM = EF = AP ,当
1 1
2 2
AP ⊥BC 时,AP 值最小,此时S△BAC = ×6×8= ×10×AP,AP =4.8 ,即x 的最小值为
2.4 。
第1 页 版权所有 不得复制
点评:本题考查了垂线段最短,三角形面积,勾股定理的逆定理,矩形的判定等的应
用,关键是求出AP 的最小值和得出AM 与AP 的数量关系。
例题2 请看下面小明同学完成的一道证明题的思路:
如 1,已知△ABC 中,AB =AC ,CD ⊥AB ,垂足是D ,P 是BC 边上任意一点,
PE ⊥AB ,PF ⊥AC ,垂足分别是E 、F 。求证:PE +PF =CD 。
证明思路:如 2 ,过点P 作PG ∥AB 交CD 于点G ,则四边形PGDE 为矩形,
PE =GD ;又可证△PGC ≌△CFP ,则PF =CG ;所以PE +PF =DG +GC =DC 。
如 3,若P 是BC 延长线上任意一点,其他条件不变,则PE 、PF 与CD 有何关系?
请你写出结论并完成证明过程。
思路导航:采用与题目相同的思路,过点C 作CG ⊥PE ,利用矩形的性质和全等三角
形的性质确定PE 、PF 、CD 之间的关系。
答案:结论:PE -PF =CD 。
证明:过点C 作CG ⊥PE 于点
G ,∵PE ⊥AB ,CD ⊥AB ,∴∠CDE =∠DEG =∠EGC =90° 。∴四边形CGED 为矩形。
∴CD =GE ,GC ∥AB 。∴∠GCP =∠B 。∵AB =AC ,∴∠B =∠ACB 。∴∠FCP =∠ACB
=∠B =∠GCP 。在△PFC 和△PGC 中,∠F =∠CGP =
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