高等数学（下）期末试题及答案.docVIP

高等数学（下）期末试题 单项选择题 1、设，则＝（ ）。 A.；B.；C.；D. 2、设是面上以为顶点的三角形区域，是中在第一象限的部分，则积分＝（ ） A.； B.； C.； D.0 3、设为曲面上的部分，则＝（ ）。 A.0； B.； C.； D. 4、设二阶线性非齐次方程有三个特解，，，则其通解为（ ）。 A.； B.； C.； D. 二、填空题 1、函数在点处取得极值，则常数＝______。 2、二重积分的值为______________。 3、设空间立体所占闭区域为，上任一点的体密度是，则此空间立体的质量为____________。 4、微分方程的通解为_____________________。 三、计算题（每题７分，总计３５分）。 1、已知及点、，求函数在点处沿由到方向的方向导数，并求此函数在点处方向导数的最大值。 2、将函数展开成的幂级数，并指出收敛域。 3、设满足方程，且其图形在点与曲线相切，求函数。 4、计算，其中是螺旋线对应的弧段。 四、计算题 1、设，计算极限的值。 2、计算，其中由不等式及所确定。 3、计算，其中为下半球面的下侧，为大于零的常数。 4、将函数展开成以2为周期的傅立叶级数。 5、设函数具有连续导数并且满足，计算曲线积分的值，假定此积分在右半平面内与路径无关，曲线是由到的任一条逐段光滑曲线。 五、对，讨论级数的敛散性。 一、单项选择题（每题２分，总计１０分）。 1、Ｄ；2、Ｂ；3、Ａ；4、Ｄ；5、Ｃ 二、填空题（每题３分，总计１５分）。 1、-5；2、；3、；4、；5、 三、计算题（每题７分，总计３５分）。 1、已知及点、，求函数在点处沿由到方向的方向导数，并求此函数在点处方向导数的最大值。 解：由条件得 从而 = 点A的梯度方向是 所以方向导数的最大值是 2、设具有连续的二阶偏导数，求。 解： 3、将函数展开成的幂级数，并指出收敛域。 解： 收敛域为。 4、设满足方程，且其图形在点与曲线相切，求函数。 解：由条件知满足 由特征方程,对应齐次方程的通解 设特解为，其中A为待定常数，代入方程，得 从而得通解,代入初始条件得 最后得 5、计算，其中是螺旋线对应的弧段。 解： 四、计算题（每题７分，总计３５分）。 1、设，计算极限的值。 解：设，则原问题转化为求和函数在处的值 而 故所求值为 2、计算，其中由不等式及所确定。 解： 3、计算，其中为下半球面的下侧，为大于零的常数。 解：取为面上的圆盘，方向取上侧，则 4、将函数展开成以2为周期的傅立叶级数。 解：所给函数在上满足收敛定理条件，并且，将之拓广成以2为周期的函数时，它在整个实轴上均连续，因此其付立叶级数在内收敛于函数本身。 ，， 5、设函数具有连续导数并且满足，计算曲线积分的值，假定此积分在右半平面内与路径无关，曲线是由到的任一条逐段光滑曲线。 解：由条件有 设，则得 代入条件得，从而原积分变为 五、本题５分。 设，与在上具有一阶连续偏导数，，且在的边界曲线（正向）上有，证明 证明：