(完整版)菱形基础知识点及同步练习、含答案.docx

学科：数学菱形 学科：数学 菱形 【基础知识精讲】 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 定理 1：四边都相等的四边形是菱形． 定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 【重点难点解析】 1．菱形的性质 （1） 菱形具有平行四边形的一切性质； （2） 菱形的四条边都相等； （3） 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； （4） 菱形是轴对称图形． 2．菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半． A．重点、难点提示 1．理解并掌握菱形的概念，性质和判别方法； （这是重点，也是难点，要掌握好） 2．经历探索菱形的性质和判别条件的过程，在操作活动和观察、分析过程中发展学生 的主动探究习惯和初步的审美意识，进一步了解和体会说理的基本方法； 3．了解菱形的现实应用和常用的判别条件； 4．体会特殊与一般的关系． B．考点指要 菱形是特殊的平行四边形，其性质和判别方法是中考的重要内容之一． 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 菱形是特殊的平行四边形， 具有平行四边形的一切性质． 除具有平行四边形的一切性质 外，菱形还具有以下性质： ①菱形的四条边都相等； ②两条对角线互相垂直平分； （出现了垂直，常与勾股定理联系在一起） ③每一条对角线都平分一组内角． （出现了相等的角，常与角平分线联系在一起） 菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在直线是它的两条对称轴． （不是对角线，而是 其所在直线，因为对称轴是直线，而对角线是线段） 菱形的判别方法： （学会利用轴对称的方法研究菱形） ①一组邻边相等的平行四边形是菱形； ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形； ③四条边都相等的四边形是菱形． 【难题巧解点拨】 例1：如图 4-24，在△ ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于D，CE平分∠ ACB ，交AD 于 G，交 AB 于 E， EF⊥ BC 于 F．求证：四边形 AEFG 是菱形． 思路分析 AEFG由已知可知，图中有平行线，就可证角相等、线段相等，因此，可先证四边形 是平行四边形，再证一组邻边相等． AEFG 证明：∵∠ BAC=90°，EF⊥BC，CE 平分∠ ACB， ∴ AE=EF ，∠ CEA= ∠ CEF． （这是略证，并不是完整的证明过程） ∵AD ⊥BC，EF⊥BC， ∴ EF ∥ AD ，（垂直于同一条直线的两条直线互相平行） ∴∠ CEF=∠ AGE ，（两直线平行，内错角相等） ∴∠ CEA= ∠AGE， ∴ AE=AG ， ∴EF∥AG，且 EF=AG ， ∴四边形 AEFG 是平行四边形． （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 又∵ AE=EF ， ∴平行四边形 AEFG 是菱形． 例 2： 已知菱形的周长为 20cm，一条对角线长为 5cm，求菱形各个角的度数． 已知：菱形 ABCD 中， AB+BC+CD+DA=20cm ，对角线 AC=5cm ．求∠ ADC 、∠ABC 、 ∠BCD 、∠ DAB 的度数． 思路分析 利用菱形的四条边相等，可求出各边长，从而得到等边三角形，如图 4-25． 解： 在菱形 ABCD 中， ∵ AB=BC=CD=DA ， 又 AB+BC+CD+DA=20cm ∴ AB=BC=CD=DA=5cm 又∵ AC=5cm ， ∴ AB=BC=AC ，CD=DA=AC ， ∴△ ABC 和△ DAC 都是等边三角形， （本题将边之间的长度关系转化为角的关系） ∴∠ ADC= ∠ABC=60 °，∠ BCD= ∠DAB=120 °． 例 3：如图 4-26，在平行四边形 ABCD 中，∠ BAE= ∠ FAE ，∠ FBA= ∠ FBE．求证：四 边形 ABEF 是菱形． 证法一：∵ AF ∥BE， ∴∠ FAE=∠AEB （两直线平行，内错角相等） 又∵∠ BAE= ∠ FAE， ∴∠ BAE= ∠AEB ， ∴ AB=BE ．（等角对等边） 同理， AB=AF ， BE=EF ， ∴ AB=BE=EF=AF ， ∴四边形 ABEF 是菱形．（四条边都相等的四边形是菱形） 证法二：∵ AF ∥BE， ∴∠ FAE=∠AEB ， 又∵∠ BAE= ∠ FAE， ∴∠ BAE= ∠AEB ，∴ AB=BE ． 又∵∠ FBA= ∠ FBE， ∴AO=OE ，AE⊥FB，（等腰三角形三线合一） 同理， BO=OF ， ∴四边形 ABEF 是菱形．（对角线互相垂直平分的四边形是菱形） （你还有其他的证明方法吗？不妨试一下） 例 4： 菱形的两邻角之比为 1： 2，边长为 2，则菱形的面积为 思路分析 本题主要考查菱形的性质和面积公式的应用： 解法一：如图 4-27， ∠B：∠ A=1 ：2， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC， ∴∠ A+∠ B=18