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平面向量的投影问题
数量积投影定义的适用范围:作为数量积的几何定义,通常适用于处理几何图形中的向量问题。
(1)图形中出现与所求数量积相关的垂直条件,尤其是垂足确定的情况下(此时便于确定投影),例如:直角三角形,菱形对角线,三角形的外心(外心到三边投影为三边中点)
(2)从模长角度出发,在求数量积的范围中,如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值,则可以考虑利用投影,从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题
定值问题
已知向量满足,且,则在方向上的投影为
解析:考虑在上的投影为,所以只需求出即可。由 可得:,所以。进而
两个半径分别为的圆,公共弦长为3,如图所示,则__________.
分析:为两个圆的公共弦,从而圆心到弦的投影为的中点,进而在上的投影能够确定,所以考虑计算和时可利用向量的投影定义。
解析:取中点,连结,由圆的性质可得:
如图,在中,,是边上的高,则的值等于
解析:由图中垂直可得:在上的投影为,所以,只需求出的高即可。由已知可得,所以
如图,为的外心,为钝角,是边的中点,则的值为
解析:外心在上的投影恰好为它们的中点,分别设为,
所以在上的投影为,而恰好为中点,
故考虑,
所以
范围问题
若过点的直线与相交于两点,则的取值范围是_______
解析:本题中因为位置不断变化,所以不易用数量积定义求解,可考虑利用投影,即过作直线的垂线,
垂足为,通过旋转可发现,当时,,位于其他位置时,点始终位于的反向延长线上,,故,故,下面寻找最小值,即的最大值,可得当在上的投影与重合时,最大,即为,此时直线即为直线。所以。进而的范围是
已知,且的夹角为,点是的外接圆上优弧上的一个动点,则的最大值是________
分析:题中的模长为定值,考虑即为乘以在上的投影,从而的最大值只需寻找投影的大小,观察图形可得只有当与同向时,投影最大。
即,只需计算的模长即可
解析:当与同向时,在上的投影最大,
在中,,
即
,
如图,菱形的边长为为中点,若为菱形内任意一点(含边界),则的最大值为
分析:菱形方向大小确定,在求数量积时可想到投影定义,即乘以在上的投影,所以的最大值只需要寻找在上的投影的最大值即可,而点也确定,所以只需在菱形内部和边界寻找在投影距离最远的,结合图像可发现的投影距离最远,所以,再由表示后进行数量积运算;
解析:
如图,在等腰直角中,,点分别是的中点,点是内(包括边界)任一点,则的取值范围是____________
解析:因为点为内任一点,所以很难用定义表示出,考虑利用投影定义。由长为定值,可得为乘以在上的投影,所以只需找到投影的范围即可。如图,过作的垂线,则点的投影为,
当在点时, 在上的投影最大且为线段的长,
当在点时, 在上的投影最小,为,分别计算相关模长即可。
在图中有条件可得: ,
,则,,
由,为中点可得:为中点,从而在方向上的投影分别为,由即可求得的范围为
综合问题
已知为直角三角形的外接圆,是斜边上的高,且,,点为线段的中点,若是中绕圆心运动的一条直径,则_________
解析:本题的难点在于是一条运动的直径,所以很难直接用定义求解。
为直径,延长交圆于,即可得,则在上的投影向量为。
所求,而由联想到相交弦定理,
从而。考虑与已知条件联系求出直径上的各段线段长度。
由射影定理可得:,且,
所以解得,再由为的中点可得,
所以,进而
为线段上一点,为直线外一点,为上一点,
,,且,则的值为
解析:考虑作图观察几何特点,则。
由及所求可想到投影与数量积的关系,
即在上的投影相等,即可得到平分。
再分析,且为的单位向量,由平行四边形性质可得和向量平分,而与和向量共线,
从而平分,由此可得为的内心,作出内切圆。
所求也可视为在上的投影,即,由内切圆性质可得:,
所以,
且有,可解得
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