平面向量常见题型汇编4 平面向量的投影问题.doc

平面向量的投影问题 数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题。 （1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点） （2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题 定值问题 已知向量满足，且，则在方向上的投影为 解析：考虑在上的投影为，所以只需求出即可。由 可得：，所以。进而 两个半径分别为的圆,公共弦长为3，如图所示，则__________. 分析：为两个圆的公共弦，从而圆心到弦的投影为的中点，进而在上的投影能够确定，所以考虑计算和时可利用向量的投影定义。 解析：取中点，连结，由圆的性质可得： 如图，在中，，是边上的高，则的值等于 解析：由图中垂直可得：在上的投影为，所以，只需求出的高即可。由已知可得，所以 如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值为 解析：外心在上的投影恰好为它们的中点，分别设为， 所以在上的投影为，而恰好为中点， 故考虑， 所以 范围问题 若过点的直线与相交于两点，则的取值范围是_______ 解析：本题中因为位置不断变化，所以不易用数量积定义求解，可考虑利用投影，即过作直线的垂线， 垂足为，通过旋转可发现，当时，，位于其他位置时，点始终位于的反向延长线上，，故，故，下面寻找最小值，即的最大值，可得当在上的投影与重合时，最大，即为，此时直线即为直线。所以。进而的范围是 已知，且的夹角为，点是的外接圆上优弧上的一个动点，则的最大值是________ 分析：题中的模长为定值，考虑即为乘以在上的投影，从而的最大值只需寻找投影的大小，观察图形可得只有当与同向时，投影最大。 即，只需计算的模长即可 解析：当与同向时，在上的投影最大， 在中，， 即 ， 如图，菱形的边长为为中点，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为 分析：菱形方向大小确定，在求数量积时可想到投影定义，即乘以在上的投影，所以的最大值只需要寻找在上的投影的最大值即可，而点也确定，所以只需在菱形内部和边界寻找在投影距离最远的，结合图像可发现的投影距离最远，所以，再由表示后进行数量积运算； 解析： 如图，在等腰直角中，，点分别是的中点，点是内（包括边界）任一点，则的取值范围是____________ 解析：因为点为内任一点，所以很难用定义表示出，考虑利用投影定义。由长为定值，可得为乘以在上的投影，所以只需找到投影的范围即可。如图，过作的垂线，则点的投影为， 当在点时， 在上的投影最大且为线段的长， 当在点时， 在上的投影最小，为，分别计算相关模长即可。 在图中有条件可得： ， ，则，， 由，为中点可得：为中点，从而在方向上的投影分别为，由即可求得的范围为 综合问题 已知为直角三角形的外接圆，是斜边上的高，且，，点为线段的中点，若是中绕圆心运动的一条直径，则_________ 解析：本题的难点在于是一条运动的直径，所以很难直接用定义求解。 为直径，延长交圆于，即可得，则在上的投影向量为。 所求，而由联想到相交弦定理， 从而。考虑与已知条件联系求出直径上的各段线段长度。 由射影定理可得：，且， 所以解得，再由为的中点可得， 所以，进而 为线段上一点，为直线外一点，为上一点， ，，且，则的值为 解析：考虑作图观察几何特点，则。 由及所求可想到投影与数量积的关系， 即在上的投影相等，即可得到平分。 再分析，且为的单位向量，由平行四边形性质可得和向量平分，而与和向量共线， 从而平分，由此可得为的内心，作出内切圆。 所求也可视为在上的投影，即，由内切圆性质可得：， 所以， 且有，可解得