数形结合的思想.pdf

1. 数形结合思想的概念。 数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。数学是研 究现实世界的数量关系与空间形式的科学，数和形之间是既对立又统一的关系，在一定的条 件下可以相互转化。这里的数是指数、代数式、方程、函数、数量关系式等，这里的形是指 几何图形和函数图象。在数学的发展史上，直角坐标系的出现给几何的研究带来了新的工具， 直角坐标系与几何图形相结合，也就是把几何图形放在坐标平面上，使得几何图形上的每个 点都可以用直角坐标系里的坐标(有序实数对)来表示，这样可以用代数的量化的运算的方法 来研究图形的性质，堪称数形结合的完美体现。数形结合思想的核心应是代数与几何的对立 统一和完美结合，就是要善于把握什么时候运用代数方法解决几何问题是最佳的、什么时候 运用几何方法解决代数问题是最佳的。如解决不等式和函数问题有时用图象解决非常简捷， 几何证明问题在初中是难点，到高中运用解析几何的代数方法有时就比较简便。 2. 数形结合思想的重要意义。 数形结合思想可以使抽象的数学问题直观化、使繁难的数学问题简捷化，使得原本需要通过 抽象思维解决的问题，有时借助形象思维就能够解决，有利于抽象思维和形象思维的协调发 展和优化解决问题的方法。数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。”这 句话深刻地揭示了数形之间的辩证关系以及数形结合的重要性。众所周知，小学生的逻辑思 维能力还比较弱，在学习数学时必须面对数学的抽象性这一现实问题；教材的编排和课堂教 学都在千方百计地使抽象的数学问题转化成学生易于理解的方式呈现，借助数形结合思想中 的图形直观手段，可以提供非常好的教学方法和解决方案。如从数的认识、计算到比较复杂 的实际问题，经常要借助图形来理解和分析，也就是说，在小学数学中，数离不开形。另外， 几何知识的学习，很多时候只凭直接观察看不出什么规律和特点，这时就需要用数来表示， 如一个角是不是直角、两条边是否相等、周长和面积是多少等。换句话说，就是形也离不开 数。因此，数形结合思想在小学数学中的意义尤为重大。 3. 数形结合思想的具体应用。 数形结合思想在数学中的应用大致可分为两种情形：一是借助于数的精确性、程序性和可操 作性来阐明形的某些属性，可称之为“以数解形”；二是借助形的几何直观性来阐明某些概念 及数之间的关系，可称之为“以形助数”。数形结合思想在中学数学的应用主要体现在以下 几个方面：(1)实数与数轴上的点的对应关系；(2)函数与图象的对应关系；(3)曲线与方程的 对应关系；(4)与几何有关的知识，如三角函数、向量等；(5)概率统计的图形表示；(6) 在数 轴上表示不等式的解集；(7)数量关系式具有一定的几何意义，如s=100t。 数形结合思想在小学数学的四大领域知识的学习中都有非常普遍和广泛的应用，主要体现在 以下几个方面：一是利用“形”作为各种直观工具帮助学生理解和掌握知识、解决问题，如从 低年级借助直线认识数的顺序，到高年级的画线段图帮助学生理解实际问题的数量关系。二 是数轴及平面直角坐标系在小学的渗透，如数轴、位置、正反比例关系图象等，使学生体会 代数与几何之间的联系。这方面的应用虽然比较浅显，但这正是数形结合思想的重点所在， 是中学数学的重要基础。三是统计图本身和几何概念模型都是数形结合思想的体现，统计图 表把抽象的枯燥的数据直观地表示出来，便于分析和决策。四是用代数(算术)方法解决几何 问题。如角度、周长、面积和体积等的计算，通过计算三角形内角的度数，可以知道它是什 么样的三角形等等。 4. 数形结合思想的教学。 数形结合思想的教学，应注意以下几个问题。 第一，如何正确理解数形结合思想。数形结合中的形是数学意义上的形，是几何图形和图象。 有些老师往往容易把利用各种图形作为直观手段帮助学生理解知识，与数形结合思想中的 “以形助数”混淆起来，彼“形”非此“形”，小学数学中的实物和图片作为理解抽象知识 1 的直观手段，很多时候是生活意义上的形，并不都是数形结合思想的应用，如6+1=7，可以 通过摆各种实物和几何图片帮助学生理解加法的算理，这里的几何图片并不是数形结合中的 形，因为这里并不关心几何图片的形状和大小，用什么形状和大小的图片都行，并没有赋予 图片本身形状和大小的量化的特征，甚至不用图片用小棒等材料也能起到相同的作用，因而 它更是生活中的形。如果结合数轴（低年级往往用类似于数轴的尺子或直线）来认识数的顺 序和加法，那么就把数和形（数轴）建立了一一对应的关系，便于比较数的大小和进行加减 法计算，这是真正的数形结合。由