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第一章 n阶行列式 在初等数学中讨论过二阶、三阶行列式，并且利用它们来解二元、 三元线性方程组. 为了研究 元线性方程组，需要把行列式推广到 nn 阶，即讨论n阶行列式的问题. 为此，下面先介绍全排列等知识，然 后引出n阶行列式的概念. §1 全排列及其逆序数 先看一个例子. 引例 用1、2、3 三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三 位数？ 解 这个问题相当于说，把三个数字分别放在百位、十位与个位 上，有几种不同的放法？ 显然，百位上可以从 1、2、3 三个数字中任选一个，所以有 3 种放法；十位上只能从剩下的两个数字中选一个，所以有两种放法； 个位上只能放最后剩下的一个数字，所以只有1 种放法. 因此，共有 3 2 16 种放法. 这六个不同的三位数是： 123，132，213，231，312，321. 在数学中，把考察的对象，如上例中的数字1、2、3 叫做元素. 上 述问题就是：把3 个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？ 对于n个不同的元素，也可以提出类似的问题：把n个不同的元 素排成一列，共有几种不同的排法？ 把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列，简称排 列. n个不同元素的所有排列的种数，通常用P 表示. 有引例的结果 n 可知 P =3 . 2 . 1 = 6 . 3 1 为了得出计算P 的公式，可以仿照引例进行讨论： n 从n个元素中任取一个放在第一个位置上，有n种取法；又从剩 下的n－1 个元素中任取一个放在第二个位置上，有n－1 种取法； 这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放在第n个位置上，只 有1 种取法. 于是 . － . … . . . P =n （n 1） 3 2 1 = n! . n 对于n个不同的元素，我们规定各元素之间有一个标准次序（例 如n个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n个 元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就 说有1 个逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数. 逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排 列. 下面我们来讨论计算排列的逆序数的方法. 不失一般性，不妨设n个元素为1 至n这n个自然数，并规定由 小到大为标准次序. 设 p p  p 1 2 n 为这n个自然数的一个排列，考虑元素 p (i1,2, , n) ，如果比p i i p t p t 大的且排在 前面的元素有 个，就说 这个元素的逆序数是 . i i i i 全体元素的逆序数之总和 n tt t  t  t ， 1 2 n i