2021高考数学《求函数定义域与值域方法全归纳》.docVIP

烁村梦菊鹿阮追 求函数定义域与值域的若干方法 函数定义域与值域的定义 给定两个实数集和，若有对应法则,使得对内每一个数，都有唯一的一个数与它相对应，则称是定义在数集上的函数，数集称为函数的定义域，所对应的数称为在点的函数值常记作，全体函数值的集合 称为函数的值域. 1.函数的定义域的求法 在函数解析式的研究中，必需考虑数值计算是否合理，常遇到的考虑是： （1）对分式：分母不为0； （2）对偶次根式：被开方式大于0； （3）对于对数：真数大于0（底数中若含有自变量时，还要考虑底数大于0，且底数不等于1）； （4）对于三角函数： 正弦、余弦函数， 正切、余切函数，（k为整数） 余切、余割函数， （k为整数） 1.1整式函数的定义域 整数函数的定义域为一切实数，例如=2x+4和=的定义域都是一切实数. 1.2分式函数的求法 用分式表示的函数的定义域的求法可以由解出值来.即其定义域是使分母的值不为0的所有实数. 例1 求函数的定义域. 分析：函数是形式的分式函数 ，因此该函数的定义域为满足的所有的取值. 解：由得 ，知,所以函数的定义域为: 点评：本题关键是了解分式函数的定义域为满足分母不为0的所有的解集 1.3无理函数的定义域 用无理式表示的函数的定义域的求法： （1）当为奇数，且表示整式时，为任何实数； （2）当为偶数时，由不等式解出的范围. 例2 求函数的定义域. 分析：无理函数中为偶数，因此只需满足，解出为所求. 解：由 解得 或 ，所以函数的定义域为: 点评：函数的定义域为的所有的集合. 例3 求函数的定义域. 分析：无理函数的定义域要满足无理函数与都成立，即 解：由 解得 所以函数的定义域为: 点评：本题解题的关键是明白满足函数的所有应满足函数的同时同样也满足所以函数的定义域为函数与函数的交集. 1.4 对数函数的定义域 对数函数（其中但）的定义域的求法，由不等式解出的范围. 例4 求函数的定义域. 分析：函数为对数函数形式，我们知道对数函数定义域其中，因此只需解出 解：由，， 得 ，所以函数的定义域为： 点评：本题关键是了解的定义域为的取值，所以的定义域为的的集合. 1.5 三角函数的定义域 （1）正弦函数和与弦函数的定义域都是一切实数. （2）函数的定义域可由（为整数）解出. （3）函数的定义域可由（为整数）解出. 例5 求函数的定义域. 分析：函数的定义域可由（为整数）解出，在函数中，因此只需解出即可 解：由 得 ，所以函数的定义域为： 点评：函数的定义域可由（为整数）解出，由所以 例6 求函数的定义域. 分析：函数的定义域可由（为整数）解出，在函数中，因此要求原函数定义域只需解出即可. 解：由 解得 ，所以函数的定义域为：. 点评：函数的定义域可由（为整数）解出，由所以. 1.6 幂函数的定义域 方幂函数的指数是无理数或含有变数时，若使这方幂有意义，必须使幂的底数为正. 例7 函数的定义域为 例8 函数的定义域为 1.7 复合函数的定义域 设在中，的定义域为，的定义域为，则得定义域为，即 = 例9 设的定义域为，求下列函数的定义域； (1) ；(2) ；(3) . 解：（1），知定义域为： （2）l,知定义域为： （3），知函数定义域为： 点评：对于以上3小题中，原函数的定义域分别为(1) (2) (3) 的内函数 的值域. 2.函数值域的求法 一般说来，函数的值域受其定义域的制约，几种常见的基本初等函数的值域如下： （1）常数函数 ，值域为一个值c的集 即 （2）幂函数（n为正整数）的值域为： （3）指数函数，值域为： （4）对数函数 值域为： （5）正弦函数，余弦函数，值域为： （6）正切函数，值域为： 求函数值域的基本方法主要有：观察法、三角函数法、反函数法、换元法、配方法、不等式发、判别式法、单调性法、数形结合法. 2.1观察法： 有些函数的结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质直接观察出函数的值域.如函数的值域为. 2.2 三角函数法： 利用三角函数的有界性求值域. 例1 求函数的值域. 分析：我们可以看出函数中可以用表示，由可以解出的取值范围. 解：原函数关于的方程： 所以函数的值域为：. 点评：本题关键是用表示，再用的有界性求的范围. 2.3反函数法： 用函数和它的反函数的定义域和值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域.形如的函数值域可用此法. 例2 求函数的值域.