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2021考研高等数学17堂课
主讲 武忠祥 教授
专题9 方程根的存在性及个数
方程 f (x ) 0 的根就是函数f (x ) 的零点,其几何意义就是曲线y f (x ) 和 x 轴的
交点.通常是以下两个问题
1.根的存在性：
方法 1：零点定理；
若函数f (x ) 在区间[a,b] 上连续，且f (a) ⋅f (b) 0, 则方程f (x ) 0 在 (a,b) 上
至少有一个实根.
【注】这个结论可推广为：若函数f (x ) 在区间 (a,b) 内连续，且 lim f (x ) α,
+
x →a
lim f (x ) β,α⋅β 0, 则方程f (x ) 0 在 (a,b) 上至少有一个实根.这里a,b,
x →b−
α,β 可以是有限数，也可以是无穷大.
方法 2：罗尔定理；
若函数F (x ) 在区间[a,b] 上满足罗尔定理三个条件，且
′
F (x ) f (x ), x ∈(a,b),
则方程f (x ) 0 在(a,b) 上至少有一个实根.
2.根的个数：
方法 1：单调性；
若函数f (x ) 在区间[a,b] 上单调（严格单调），则方程f (x ) 0 在(a,b) 上
最多一个实根.
方法 2：罗尔定理推论；
(n)
n
罗尔定理推论 ：若在区间I 上f (x) ≠0 ，则方程f (x) 0 在I 上最多 个实根.
【例 1】设f (x ) ln (x −1)(x −2) L(x −n) ，则方程f ′(x) 0 根的个数为_________ .
1
3 3 ′′′
【例 2】设f (x) x (1−x) , 则方程f (x) 0 在(0,1) 上( )
(A)有1个根 (B)有2 个根
(C)有3 个根 (D)有4 个根
【例 3】已知方程4ax3 +3bx2 +2cx a +b +c 在(0,1) 内至少有一个实根，则（ ）
（A ）a 0 （B ）b 0
（C ）c 0 （D ）a,b,c 为任意实数.
1 1
【例 4】（1996 年 1,2）在区间(−∞,+∞) 内，方程| x |4 +| x |2 −cos x 0 （C ）.
（A ）
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