专题4 无穷小量阶的比较--考研数学.pdfVIP

     2021考研高等数学17堂课          武忠祥 教授 专题4 无穷小量阶的比较    1.无穷小量的概念  若函数f (x) 当x →x0 （或x →∞）时的极限为零，则称f (x) 为 x →x0 （或x →∞）时的无穷小量.   2.无穷小的比较  设 lim α(x ) 0, limβ(x ) 0 ，且β(x) ≠0 . α(x) （1）高阶： 若lim 0 ； 记为α(x) ο(β(x)); ( ) β x α(x) （2）低阶： 若 lim ∞； β(x) α(x) （3）同阶： 若 lim C ≠0 ； β(x) α(x) （4）等价： 若lim 1；记为α(x) ~ β(x); β(x) α(x ) k （5）无穷小的阶: 若lim k C ≠0 ，则称α(x ) 是β(x ) 的 阶无穷小. [β(x )] 0 由无穷小量阶的定义可知，比较两个无穷小阶的问题就是求 型极限，所以，常用的 0 0 方法就是求 型极限的常用三种方法 0 1）洛必达法则（求导定阶） 若当 x →0 时f (x) 是无穷小量，且 f ′(x) 是 x 的k (k ≥0) 阶无穷小，则f (x) 是 x →0 时的k +1阶无穷小量. 2) 等价无穷小代换 若当x →0 时f (x) 是无穷小量，且f (x) ~ Ax k (A ≠0,k 0), 则f (x) 是x →0 1 时的k 阶无穷小量. 3）泰勒公式 这里常见的有三类问题 一. 无穷小阶的比较及阶的确定  sin x 【例 1】（1993年 1，3）设f (x) ∫0 sin(t 2 ) d t ，g (x) x 3 +x 4 ，则当x →0 时，f (x) 是g (x) 的（ ）. （A ）等价无穷小 （B ）同阶但非等价无穷小 （C ）高阶无穷小 （D ）低阶无穷小 （B ） 【解 1】 【解 2】 2 x t sin x 【例 2】设 2 f (x) d t t ln(1+u )du, ，g (x) (1−cos t)dt ，则当x →0 时，f (