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一、对数
1.对数的概念
(1)对数:一般地,如果,那么数 x叫做以a为底 N的对数,记作_______,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
(2)常用对数:通常我们将以_______为底的对数叫做常用对数,并把记为lg N.
(3)自然对数:在科学技术中常使用以无理数e=2.718 28……为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数,并把记为ln N.
2.对数与指数的关系
当a0,且a≠1时,.即
3.对数的性质
根据对数的概念,知对数具有以下性质:
(1)负数和零没有对数,即;
(2)1的对数等于0,即;
(3)底数的对数等于1,即.
二、对数的运算
1.基本性质
若,则
(1)______; (2)______.
2.对数的运算性质
如果,那么:
(1);
(2);
(3).
三、换底公式及公式的推广
1.对数的换底公式
.
【注】速记口诀:
换底公式真神奇,换成新底可任意,
原底加底变分母,真数加底变分子.
2.公式的推广
(1)(其中a0且;b0且);
(2)(其中a0且;b0);
(3)(其中a0且;b0);
(4)(其中a0且;b0);
(5)(其中a,b,c均大于0且不等于1,d0).
四、对数函数
1.对数函数的概念
一般地,我们把函数叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是_____.
2.对数函数的结构特征
(1)对数符号前面的系数是1;
(2)对数的底数是不等于1的正实数(常数);
(3)对数的真数仅有自变量x.
五、对数函数的图象与性质
1.一般地,对数函数的图象和性质如下表所示:
图象
定义域
值域
奇偶性
非奇非偶函数
过定点
过定点,即时,
单调性
在上是___函数
在上是___函数
函数值的变化情况
当时,;
当时,
当时,;
当时,
【注】速记口诀:
对数增减有思路,函数图象看底数;
底数只能大于0,等于1了可不行;
底数若是大于1,图象从下往上增;
底数0到1之间,图象从上往下减;
无论函数增和减,图象都过(1,0)点.
2.对数函数中的底数对其图象的影响
在直线x=1的右侧,当a1时,底数越大,图象越靠近x轴;当0a1时,底数越小,图象越靠近x轴,即“底大图低”.
六、反函数
根据指数与对数的关系,将指数式(其中是自变量,且,是的函数,)化成对数式,即,于是对于任意一个,通过式子都有唯一一个与之对应,这样将看成自变量,是的函数,这时我们就说是函数的反函数.
由于习惯上将看成自变量,而将看成因变量,因此,我们将中的,互换,写成,即对数函数是指数函数的反函数,它们的图象关于直线对称.
K知识参考答案:
一、1.(1) (2)10
二、1.(1) (2)
2.(1) (2) (3)
四、1.
五、1.减 增
K—重点
1.对数,对数的运算性质,换底公式;
2.对数函数的概念、对数函数的图象与性质.
K—难点
1.对数的运算性质;
2.对数型复合函数的性质及其应用.
K—易错
1.对于对数运算,不仅要注意“真数大于0”这一隐含条件,还应准确掌握对数的运算法则,保证对数运算的每一步都是等价的;
2.关于对数函数常见的易错点有三个:
(1)忽略对数函数定义域的限制;
(2)对于字母为底数的对数函数不加讨论;
(3)解有关对数函数的不等式时,忽略真数大于0这一基本条件,使解集扩大.
1.对数的概念
解决使对数式有意义的参数问题,只要注意满足底数和真数的条件,然后解不等式(组)即可.对数的概念是对数式和指数式互化的依据,在互化过程中应注意对数式和指数式之间的对应关系.
【例1】在对数式中,实数的取值范围应该是
A.1x3 B.x1且x≠2
C.x3 D.1x3且x≠2
2.对数运算性质的应用
对数的运算性质是进行对数运算和化简的基础,所以要熟记对数的运算性质以及对数恒等式,化简的原则是:
(1)尽量将真数化为 “底数”一致的形式;
(2)将同底的多个对数的和(差)合成积(商)的对数;
(3)将积(商)的对数分成若干个对数的和(差).运算时要灵活运用对数的相关公式求解,如
,等.
【例2】计算:(1); (2).
3.换底公式的应用
换底公式即将底数不同的对数转化为底数相同的对数,进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底,由已知条件来确定,一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数.
【例3】已知,试用表示.
4.对数方程的求解
解对数方程时,(1)等号两边为底数相同的对数式,则真数相等;(2)化简后得到关于简单对数式的一元二次方程,再由对数式与指数式的互化求解.
【例4】方程的解为 .
5.与对数函数有关的函数的定义域和值域
定义域是使
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