最新2019学年度九年级数学下册 第5章5.5.2 利用二次函数解决几何图形面积最值问题同步练习(考试必用).docxVIP

第?2?课时 利用二次函数解决几何图形面积最值问题 知|识|目|标 经历利用二次函数的有关性质解决实际问题的过程，会利用二次函数解决几何面积的最 值问题． 目标 会利用二次函数解决面积最值问题 例?1?教材补充例题将一根长为?100?cm?的铁丝围成一个矩形框，要想使铁丝框的面积最 大，应怎样围？ 【归纳总结】?应用二次函数解决面积最大(小)值问题的步骤 (1)分析题中的变量与常量． (2)根据几何图形的面积公式建立函数模型． (3)结合函数图像及性质，考虑实际问题中自变量的取值范围，求出面积的最大(小)值． 例?2?教材“复习巩固”第?15?题针对训练如图?5－5－2，在矩形?ABCD?中，AB＝6?cm，BC ＝12?cm，点?P?从点?A?出发沿?AB?边向点?B?以?1?cm/s?的速度运动，同时，点?Q?从点?B?出发沿 BC?边向点?C?以?2?cm/s?的速度运动，P，Q?两点在分别到达?B，C?两点后就停止运动，设经过 t?s?时，△PBQ?的面积为?S?cm2. (1)求?S?与?t?之间的函数表达式(不需要写出自变量的取值范围)； (2)当?t?取何值时，S?的值最大？最大值是多少？ 图?5－5－2 【归纳总结】?几何问题中应用二次函数时的三个注意点 (1)点在线段上的取值范围． (2)顶点的横坐标、纵坐标必须符合实际意义． (3)自变量和函数值的单位． 知识点 建立函数模型，解决图形中的最值问题 1 利用二次函数解决几何图形面积最值问题的一般步骤： (1)列：分析几何图形的特点，设出自变量?x，根据题中两个变量之间的关系列出二次 函数表达式； (2)求：利用公式法或配方法求出其最大(小)值； (3)写：结合相关问题写出结果． 如图?5－5－3，利用一面墙，其他三边用?80?m?长的篱笆围一块矩形场地，墙长为?30?m， 求围成矩形场地的最大面积． 由题意，得?S＝x·??(80 由题意，得?S＝x·??(80－x)＝－??(x－40)2＋800， 解：设矩形场地的面积为?S?m2，所围矩形?ABCD?的边?BC?为?x?m. 1 1 2 2 ∴当?x＝40?时，S?最大＝800，符合题意， ∴当所围矩形?ABCD?的边?BC?为?40?m?时，矩形场地的面积最大，最大面积为?800?m2. 你认为上述解答有问题吗？若有问题，请说明理由，并给出正确的解答过程． 2 详解详析 【目标突破】 例?1 解：设矩形框的一边长为?x?cm，则与其相邻的另一边长为(50－x)cm，矩形的面 积是?y?cm2，那么?y＝(50－x)x＝－x2＋50x＝－(x－25)2＋625. ∵a＝－1＜0，∴当?x＝25?时，y?有最大值， 则?50－x＝50－25＝25， 即要使铁丝框的面积最大，应将其围成边长为?25?cm?的正方形． [备选例题]?某校在基地参加社会实践活动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个 矩形的生物园地，一边靠旧墙(墙足够长)，另外三边用总长?69?米的不锈钢栅栏围成，与墙 平行的一边留一个宽为?3?米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是 两名学生争议的情境： 2请根据上面的信息，解决问题： 2 (1)设?AB＝x?米(x＞0)，试用含?x?的代数式表示?BC?的长； (2)请你判断谁的说法正确，为什么？ 解：(1)由?AB＝x?米，可得?BC＝69＋3－2x＝(72－2x)米． (2)小英的说法正确．理由： 矩形面积?S＝x(72－2x)＝－2(x－18)2＋648. ∵72－2x＞0，∴x＜36，∴0＜x＜36， ∴当?x＝18?时，S?取得最大值， 此时?x≠72－2x， ∴面积最大时的图形不是正方形． 例?2 解：(1)经过?t?s?时，AP＝t?cm，故?PB＝(6－t)cm，BQ＝2t?cm， 1 故?S＝?·(6－t)·2t＝－t2＋6t. (2)∵S＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9， ∴当?t＝3?时，S?的值最大，最大值为?9. 【总结反思】 [反思]?上述解答有问题，解答有关二次函数的实际问题时未考虑自变量的取值范围， 墙长?30?m＜40?m，故?x＝40?时矩形?ABCD?的面积最大是不正确的． 正解：设矩形场地的面积为?S?m2，所围矩形?ABCD?的边?BC?长为?x?m．由题意，得 3 2?????????? 21 1 2?????????? 2 S＝x·?(80－x)＝－?(x－40)2＋800. 因为墙长为?30?m，所以?0x≤30. 又因为当?x＜40?时，S?随?x?的增大而增大， 所以当?x＝30?时，S?取得符合实际意义的最大值，此时?S＝750.故围成矩形场地的最大 面积为?750?m2. 4